approximation d' intégrale python

{\displaystyle |f(x)|\leq |x-\mu |\|f'\|_{\infty }} q ‖ b Si M est une matrice, il faut indiquer l'axe en paramètre axis= : 0 (premier indice) pour faire une différence entre les lignes, 1 (deuxième indice) pour faire la différence en… g d , ∈ M 2 ( a ) p + f Une transformation affine permet de transposer la formule sur un morceau particulier. ) f k {\displaystyle (x-t)_{+}=\max(x-t,0)} ( Dans ce cas et afin de réduire Cette inégalité peut être montrée plus rigoureusement à l’aide de l’inégalité de Hölder pour tout Mis à jour le 26 sept. 2020. Ce résultat conforte les recommandations suivantes : Ces méthodes utilisent l’interpolation des fonctions à intégrer par des polynômes dont la primitive est connue. An overview of the module is … + b ∫ f m σ , a Par exemple, la fonction f (x) = x– α avec 0 < α < 1 est intégrable sur [0 ; 1] et I = 1 / (1 – α). {\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{b-a}}. ( En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d… 2 La méthode de Simpson est basée sur un polynôme de degré 2 (intégrale d’une parabole), tout en restant exacte pour des polynômes de degré 3 ; elle est donc d’ordre 3 : Remarque : comme la méthode du point milieu qui caractérise un polynôme de degré 0 et qui reste exacte pour tout polynôme de degré 1, la méthode de Simpson caractérise un polynôme de degré 2 et reste exacte pour tout polynôme de degré 3. p 2 L'erreur pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : Il vient alors, par application du deuxième résultat : Le noyau de Peano pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : On sait que la méthode de quadrature de Gauss de degré m est d'ordre 2m+1. On se limitera ici à m' = 2 correspondant aux deux extrémités a et b. Peu connues (et donc rarement présentées dans les cours), ces méthodes permettent de gagner deux ordres de convergence par rapport à la méthode correspondante sans la dérivée, ceci en nécessitant très peu de calculs supplémentaires : en effet, les coefficients de f ' (a) et de f ' (b) sont opposés et ainsi, dans la formule composite (dont il est question ci-dessous), les dérivées aux extrémités de deux intervalles adjacent se simplifient. {\displaystyle O(h^{2n+2})} a 0 a | q ′ − Le domaine d’intégration est découpé en intervalles et on fait comme si la fonction restait constante sur chaque intervalle. Considérons une intégrale définie h + cos impliquant la dérivée seconde, la transformation affine fait apparaître des facteurs h ou h2, ceci conformément à la relation suivante : Si m est l’ordre de la formule de quadrature et si f (x) est de classe h − {\displaystyle {\frac {\sqrt {q}}{(b-a)\sigma }}\,E_{q}(f)} i | 2 b g . Tronquer l’intervalle pour le rendre fini est une mauvaise idée car la contribution du morceau amputé n’est jamais négligeable. Après n itérations, elle conduit à une méthode d’ordre de 22 n + 1 avec une erreur en ( Partant d’une décomposition régulière de [a , b] en n sous-intervalles de longueur h = (b – a)/n, soit les intervalles Jk = [a + k h, \, a + (k+1) h] pour 0 ≤ k < n, l’application de la formule de quadrature précédente à chaque Jk s’effectue à l’aide d’une transformation affine, permettant ainsi d’obtenir une approximation In(f) de i qui s’écrit : Cette relation est la formule composite associée à une formule de quadrature générale. {\displaystyle x\in [a,b]} 1 x ) ( La fonction np.diff() calcule la différence entre les éléments consécutifs d'un vecteur (ou d'une liste ou d'un n-uplet) : np.diff(M) == M[1:] - M[:-1]. Dans ce cas, il existe une constante C indépendante de f et de [a , b] telle que. Puisque b j ( q ] ∈ 2 ( sup , . x . p [ = f 1 m b L’intégrale sur [a, b] est estimée par la somme des valeurs ainsi calculées. On peut alors assurer que son espérance est égale à l’intégrale de f et préciser une borne de l’écart type de l’erreur. Pour chacune des méthodes précédentes, le terme d’erreur dépend d’une puissance de b – a. Cette imprécision étant le plus souvent trop importante, l’erreur peut être réduite en découpant simplement l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles (supposés de longueurs égales), ceci dans le but de déterminer une valeur approchée de l’intégrale sur chacun d’eux, en application de la méthode choisie. ( {\displaystyle I_{n}(f)=h\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,f(a+hk+hx_{i})} ″ ⁡ 1 {\displaystyle -\log _{10}\left(\left|{\frac {E(f)}{I}}\right|\right)} − | ) n ) Il s’agit d’une sorte d’anomalie où se produisent des compensations bénéfiques à l’ordre de la méthode. ) et multiplications par αi). ] β L’ordre du calcul des termes de cette double somme et certains arrangements permettent le plus souvent de réduire le nombre d’opérations (évaluations de f (.) {\displaystyle F(x)=-{\frac {1}{2}}\,\cos(x^{2})} 0 Par ailleurs, l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à chaque Jk implique : En choisissant Cette apparence est trompeuse : avec une fonction plus chaotique, les courbes seraient beaucoup plus erratiques. , ceci avec une grande économie du nombre d’évaluations de la fonction (précisément 2n + 1 évaluations). E ) f γ ( Formule NC-1-2 : basée sur un polynôme de degré 2, elle est d’, Formule NC-2-2 : basée sur un polynôme de degré 3, elle est d’, Formule NC-3-2 : basée sur un polynôme de degré 4, elle est d’, Formule NC-4-2 : basée sur un polynôme de degré 5, elle est d’, Formule NC-5-2 : basée sur un polynôme de degré 6, elle est d’, Une méthode NC-1-1-...-1 n’est autre que l’intégration d’un. f The Riemann sum is an approximation of the integral and per se not "exact". Mentionnons uniquement une formule particulièrement remarquable qui présente une double anomalie : Formule NC-4-2-2, basée sur un polynôme de degré 7, elle est d’ordre 9 : Les coefficients de f '(a) et de f '(b) sont opposés, ce qui permet des simplifications dans la formule composite. ( 1 On notera ici NC-m la méthode basée sur m points : Pour des questions d’instabilité numérique provenant en particulier du phénomène de Runge, il est cependant préférable de limiter le degré m du polynôme d'interpolation, quitte à subdiviser l'intervalle en sous-intervalles. {\displaystyle [0,(\pi )^{\frac {1}{2}}]} x 5 Intégration. ′ m ) q Le but est d'obtenir une approximation d'une intégrale définie du type $$ J = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $$ pour une certaine fonction \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) trop compliquée pour a priori déterminer la valeur de \( J \) à la main. 0 ) Et là où ça va mieux : utilisation des librairies Python présente l’avantage de recourir aux modules pour le développement de fonctions ou d… Tweeter Suivre @CoursPython. A l’aide du théorème de Taylor, pour tout ∈ ) − | Ceci s’explique par le fait que l’écart d’intégration de la méthode du point milieu donne lieu à deux erreurs d’évaluation, de valeurs absolues égales et de signes opposés. tel que. ) f b ( {\displaystyle I_{[0,1]}(g)=\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,g(x_{i})} ∑ + ∈ n C ) , ( g a }, La variable aléatoire f (u) est alors d’espérance. 1 ] converge vers celle de la loi normale centrée réduite, soit (soit l’espace des fonctions m + 1 fois dérivables dont la dérivée m + 1 est continue par morceaux), notons ] On appelle formule composite l’expression caractérisant cette estimation. m Si ξ est le point d’interpolation, la formule est la suivante : Le choix de ξ influence l’erreur E(f) = I – I(f) : Ainsi, le choix du point milieu améliore l’ordre de la méthode : celle du rectangle est exacte (c’est-à-dire E(f) = 0) pour les fonctions constantes alors que celle du point milieu est exacte pour les polynômes de degré 1. ( . Ces formules de quadrature sont en effet obtenues à l’aide de la substitution de la fonction par une approximation, c’est-à-dire par une fonction proche dont l’intégrale peut être déterminée algébriquement. 0 Supposons en effet que le nombre q de tirages soit imposé (limitation de l’effort de traitement). There is no fault here, neither with the algorithm nor with your code (or python). ) 2 [ f . ( ∞ E Cette question est développée plus loin pour quelques formules de quadrature particulières. i ) q ″ {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\,1)} 2 10 0 . 2 i Sur chaque intervalle, on réalise ainsi l’approximation … {\displaystyle f\in C^{n+1}([a,b])} {\displaystyle f(\mu )=0} = Avec m points pour la fonction et 2 points pour sa dérivée, il en découle une méthode. Dans ce cas, le théorème de Rolle appliqué à une primitive de f implique l’existence d’un point + C 0 ( z = Created using Sphinx 3.1.2.Sphinx 3.1.2. + Des méthodes d'approximations déterministes et probabilistes seront introduites pour obtenir une approximation … , ( = + = b ) ( ) Dans le cas du calcul d'une intégrale de la forme ) h ( avec i σ = 2 | ≤ ( ∑ x Décomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus) ; Intégration approchée de la fonction sur chaque morceau ; Sommation des résultats numériques ainsi obtenus. C p a Le tableau suivant résume les performances théoriques de chaque méthode : Afin d’illustrer par un exemple les résultats numériques obtenus avec les diverses méthodes, considérons le cas particulier de la fonction f (x) = x sin(x2) et son intégrale sur l’intervalle ∫ | I Si xi désigne les points d’évaluation de f (i entre 0 et m – 1) : Concernant l’erreur globale d’une formule de quadrature linéaire d’ordre p, elle est donnée par, Ce procédé permet ainsi une généralisation des formules de Newton-Cotes. , ) σ x ⁡ = La conclusion découle alors du 1er résultat. , ′ La fonction f peut être interpolée à l’aide de son évaluation en m points équidistants (comprenant les deux extrémités si m > 1, méthode du point milieu si m = 1) par un polynôme de degré m – 1 issu d’une base de polynômes de Lagrange et dont l’intégrale est fournie par les formules de Newton-Cotes. ] En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). = α ] ( ) La notation indique que la dérivée seconde intervient également en m" points équidistants. 2020, David Cassagne. Dans cette méthode, on calcule l’intégrale numérique en réalisant une somme de surfaces de rectangles. ( ] Le comportement de la fonction choisie étant bien régulier, les diverses courbes croissent très uniformément avec le nombre de sous-intervalles (hormis celles issues de la méthode de Monte-Carlo). Pour illustrer l'aire d'intégration avec matplotib, on peut utiliser la méthode ax.fill_between(x, 0, function(x)) comme dans cet exemple: Calculer et tracer une intégrale simple avec python et Matplotlib. dont on cherche à estimer la valeur numérique. ω {\displaystyle \sum _{j=0}^{p'}\beta _{j}\,g'(y_{j})} 1 x {\displaystyle E_{J_{i},q_{i}}(f)} On suppose que la formule de quadrature s'écrit ∑ + [ i , {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}([a,\,b])} On donne ici quelques calculs du noyau de Peano. − 1 π n I ξ Notons Ji l’un des intervalles, puis gi(u) la fonction f (u) restreinte à Ji après soustraction d’une constante égale à la moyenne de f sur Ji. ( i | {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} f Les résultats suivants permettent de caractériser la distribution de l’erreur et son écart type : Alors la distribution de , ! Dans une telle situation, il convient de soustraire à f une fonction g dont l’intégrale est connue et qui soit telle que f – g ne soit plus singulière, puis d’intégrer numériquement cette différence. = Méthode de calcul d'intégrale à une dimension, Mise en œuvre : décomposition de l'intervalle en morceaux, Formules utilisant des valeurs des dérivées de la fonction, Lien entre ordre de la formule de quadrature et convergence de la méthode, Généralisation : formules de Newton-Cotes NC-, Méthode de calcul d'intégrale de forme particulière, Méthode de calcul d'intégrale à plusieurs dimensions, Erreur de la méthode de quadrature de Gauss. , alors, où la fonction Kn est une fonction définie sur [a , b] par. = 0 ( ξ