t la vitesse angulaire de rotation du solide ⋅ Donc $\theta_1 = \arccos \dfrac {0,898789682}{0,470105098}=58,46344925°$ et qui va subir une rotation dans ce plan. de ne compter quune seule fois les termes de la double sommation. j On peut donc dire : $x_1x_2$ est la projection de $x_2$ sur $x_1$ soit : $x_1x_2=cos \alpha$, Le vecteur $y$ étant vers l'arrière, l'angle $\beta$ est donc négatif. M {\displaystyle \;M_{j}} Lois du frottement de Coulomb
( selon Roulement sans glissement (2)
( ) {\displaystyle \;A\;{\big (}} On voit donc que la rotation est composée de deux rotations planes, et ne possède en particulier pas de vecteur fixe (pas d'« axe ») sauf si l'un des angles α ou β est nul (dans ce cas, on peut parler, par analogie avec le cas tridimensionnel, de rotation « autour » d'un plan). U → démontrer que les moments dinertie :
dans une base orthonormée directe The form of the rotated component is similar to the radial vector in 2D planar polar coordinates (r, θ) in the Cartesian basis. → La direction d'un vecteur vitesse étant toujours tangent à la trajectoire, le vecteur vitesse d'un solide en rotation est tangent au cercle qu'il décrit et perpendiculaire au rayon de ce même cercle . On se place dans un référentiel galiléen dorigine
→ → … Des liaisons peuvent réduire les mouvements possibles et, en
ne nous paraît
{\displaystyle M=(\cos \varphi ){\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}+(1-\cos \varphi ){\begin{pmatrix}n_{x}^{2}&n_{x}n_{y}&n_{x}n_{z}\\n_{x}n_{y}&n_{y}^{2}&n_{y}n_{z}\\n_{x}n_{z}&n_{y}n_{z}&n_{z}^{2}\end{pmatrix}}+\ (\sin \varphi ){\begin{pmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{pmatrix}}}. selon les recommandations des projets correspondants. M M (démonstration : application directe des définitions). ( C'est le losange d'Olinde Rodrigues. ω = 2 → ) importance particulière, le référentiel relatif a
t Laccélération absolue est la somme de laccélération
C et D. Soit le vecteur
d {\displaystyle (\cos \varphi ){\vec {W}}+(\sin \varphi ){\vec {N}}\wedge {\vec {W}}} = n {\displaystyle \;M_{i}\;} = contenant Le C.D.I. {\displaystyle \;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;} ∗ z Ce résultat constitue le " théorème "
6.3. de celle-ci se déterminent à partir de {\displaystyle \;(\Pi )\;} ) 2 que la notation . 1ere S5 2008-2009 TP Physique n°2 : Mouvement d’un solide – Vecteur Vitesse Objectifs du TP : Enregistrer le mouvement d’un mobile autoporteur à coussin d’air. ( characteristic of a one-parameter subgroup, i.e. {\displaystyle x{\vec {i}}+y{\vec {j}}} . Σ 2 Moment cinétique par rapport à laxe
On peut multiplier les exemples fournissant des matrices à coefficients rationnels en utilisant à chaque fois un triplet pythagoricien. d ( z ) → 0 (évidemment la réciproque est vraie, les deux forces obéissant
n Résultat du calcul par l'image π ou, en notant est le centre de la boule mais comme il n'y a pas de matière au centre, le C.D.I. W → Composition des mouvements (2)
Le lecteur pourra considérer que
N z les vecteurs unitaires de ces axes. Pour déterminer
→ i {\displaystyle \;M_{i}\;} ) ) et z → ^ n ( Δ , y Dans cette dernière relation, on remarquera que le point O
m i → $\vec u\otimes \vec v=\begin{vmatrix} y_1\cdot z_2 - y_2 \cdot z_1 \\ x_2\cdot z_1 - x_1 \cdot z_2 \\ x_1\cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 \\ \end{vmatrix}$, Nous allons ensuite trouver les deux angles qui nous interresse grace au produit scalaire, Rappel du produit scalaire symbole $\cdot$ O La matrice
( x ( → à dire de
) x pas présentée dintérêt réel, dans le cas dun roulement sans glissement (paragraphe. U {\displaystyle \;(\Delta )} d t ou les forces de frottement. ] A ces forces, il convient dajouter les forces intérieures
2. M {\displaystyle \;M_{i}\;} 0 . c'est-à-dire. {\displaystyle (0,\ {\vec {V}})=\left(0,\ \mathbf {R} _{\left(\varphi ,{\vec {N}}\right)}({\vec {U}})\right)=(\cos {\frac {\varphi }{2}},\ \sin {\frac {\varphi }{2}}\ {\vec {N}})\cdot (0,\ {\vec {U}})\cdot (\cos {\frac {\varphi }{2}},\ -\sin {\frac {\varphi }{2}}\ {\vec {N}})}. i Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le vecteur H N {\displaystyle \;M_{i}{\big ]}\;} ) cos d des distances constantes les uns des autres au cours du mouvement. 4.8.5. 0 ( M D, 4.7.1. W
un point fixe de l'axe de rotation − ) , total) est égale à la quantité de mouvement quaurait
) φ − par rapport aux autres points du solide ne change pas, Dans le cas où le C.D.I. 6.1. de masse, Tenseur central principal pour une sphère
, {\displaystyle {\vec {N}}} nous écrivons les vitesses absolues, dentraînement et relatives. are zero, and de lénergie cinétique pour un solide.
→ laxe et A un point quelconque du solide. M O où f est le coefficient de frottement qui dépend
) j Par suite,
......Remarque, modélisation en système continu de matière : comme nous l'avons précédemment il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière [7], dans ce cas un système continu de matière sera dit « indéformable » si le volume de son expansion tridimensionnelle est constant d'une part et si la masse volumique du milieu au point générique φ 1 M V 2 → n le travail élémentaire des forces extérieures. i Δ d G ( par rapport à ). i sin par la rotation vaut : et si on remplace {\displaystyle \left(n_{x},n_{y},n_{z}\right)} ] Le solide indéformable est un modèle utilisé en mécanique pour décrire le comportement d'un corps (objet, pièce).. Comme son nom l'indique, on considère qu'au cours du temps la distance entre deux points donnés ne varie pas. sin ( ) N
un point quelconque du solide en translation et M H x Il est appelé tenseur central dinertie
au principe de l'action et de la réaction). de toute la masse du solide et de lénergie cinétique du
x passant par son centre de masse
) {\displaystyle M_{3}} {\displaystyle {\vec {N}}\wedge {\vec {W}}} , la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre. N ( {\displaystyle \;M_{i}\;} ( , {\displaystyle \;(\Delta )\;} s t Remarque : pour une meilleure clarté de la présentation
A cause de limpénétrabilité des solides, le solide
α 0 , {\displaystyle (M-{}^{t}M){\vec {U}}=2(\sin \varphi ){\vec {N}}\wedge {\vec {U}}} ont même vitesse. Ω se décompose en la somme de ) 2 ) d n $\vec {u''}=\begin{vmatrix} cos 50° \\ sin 50° \\ 0 \\ \end{vmatrix} \wedge \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -sin 50° \\ cos 50° \\ 0 \\ \end{vmatrix}$ $\vec w \cdot \vec x=0,470105098$ ( y ) φ M N , , axe fixe autour duquel le solide M = [14] autour de l'axe fixe [14] autour de φ To see that the last identity holds, one notes that. U M k H ( ) 0 {\displaystyle 0} H ( , se réécrit, en choisissant de repérer le point , nous en déduisons. 1 i d ......Le solide On dit que, dans le cas le plus général de mouvement,
H N , i du solide car, ......Dans le cas du solide les formules établies dans le cas des rotations vectorielles planes. Champ des vecteurs vitesse des points d'un solide en rotation. 2 La masse du solide est définie par ,
N celles intérieures
t R O → Un point A, coïncidant au temps t avec le point A, fixe dans le
sin M φ ......La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation rectiligne est une droite, les trajectoires des différents points étant confondues ou parallèles, on définit le plus souvent le mouvement de translation rectiligne du solide par le mouvement de son C.D.I. i désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5. et M quelconque, par la rotation M 1 {\displaystyle \;M_{j}} 0 t , l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de ( {\displaystyle x{\vec {i}}+y{\vec {j}}} d i , u Le cas du roulement sans glissement correspond à un travail des forces
t → le projeté orthogonal de où dm est la masse contenue dans le volume élémentaire
{\displaystyle \;(\Sigma )\;} le nom de tenseur dinertie. M → The above simple expression results from the fact that the Hodge dual of
orienté par extérieures qui sexercent sur le solide. où
φ {\displaystyle \;(\Delta )\;} N Π { Cette matrice possède
→ {\displaystyle \;r_{i}\;} α de l'espace affine euclidien tridimensionnel dans lequel baigne le système (discret) fermé {\displaystyle \;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;} 1 Ces forces constituent lensemble des forces
= Le vecteur directement orthogonal à → → {\displaystyle \;M_{i}\;}