théorème de pythagore

The Pythagorean equation relates the sides of a right triangle in a simple way, so that if the lengths of any two sides are known the length of the third side can be found. En trigonométrie sphérique, si un triangle est formé par trois arcs de grands cercles à la surface d’une sphère de rayon R et si deux de ces arcs se croisent à angle droit, la relation du théorème de Pythagore n’est plus valable, comme dans le cas du triangle équilatéral trirectangle. Le théorème de Pythagore sur cmath.fr > Un distique attribué à Apollodore de Cyzique (IVe siècle av. and {\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})} ( La tablette Plimpton 322 datant de vers -1800 donne une liste de nombres associés à des triplets pythagoriciens, soit des entiers (a, b, c) satisfaisant la relation a2 + b2 = c2. B B L'hypothèse parfois avancée que le théorème aurait été connu de l'Égypte ancienne dès le Moyen Empire paraît elle aussi difficile à établir[4]. The formulas can be discovered by using Pythagoras's theorem with the equations relating the curvilinear coordinates to Cartesian coordinates. {\displaystyle b} 2 The four triangles and the square side c must have the same area as the larger square, A related proof was published by future U.S. President James A. Garfield (then a U.S. Representative) (see diagram). a . 1 The area of the large square is therefore, But this is a square with side c and area c2, so. x Because the ratio of the area of a right triangle to the square of its hypotenuse is the same for similar triangles, the relationship between the areas of the three triangles holds for the squares of the sides of the large triangle as well. Those two parts have the same shape as the original right triangle, and have the legs of the original triangle as their hypotenuses, and the sum of their areas is that of the original triangle. This theorem may have more known proofs than any other (the law of quadratic reciprocity being another contender for that distinction); the book The Pythagorean Proposition contains 370 proofs.[5]. Quand trois nombres entiers vérifient la même relation que celle donnée par le théorème de Pythagore pour les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagoriciens ». Est égal, si je ne m’abuse Let c be chosen to be the longest of the three sides and a + b > c (otherwise there is no triangle according to the triangle inequality). The triangles are shown in two arrangements, the first of which leaves two squares a2 and b2 uncovered, the second of which leaves square c2 uncovered. C H Quant à Li Jimin[48], il attribue au Zhoubi Suanjian la paternité de la première démonstration, il s’appuie lui aussi sur la figure fondamentale et fait pivoter les triangles (1-2) et 3 sur leur pointe pour les installer dans le carré de l’hypoténuse. , {\displaystyle {\dfrac {AH}{AC}}={\dfrac {AC}{AB}}} → 2 3 It states that the area of the square whose side is the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares on the other two sides. a The sum of the areas of the two smaller triangles therefore is that of the third, thus A + B = C and reversing the above logic leads to the Pythagorean theorem a2 + b2 = c2. b Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,4,5) : 32 + 42 = 52. Les quatre hypoténuses forment alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle. In a different wording:[53]. B 2 As the depth of the base from the vertex increases, the area of the "legs" increases, while that of the base is fixed. A H So the three quantities, r, x and y are related by the Pythagorean equation. These two triangles are shown to be congruent, proving this square has the same area as the left rectangle. , while the small square has side b − a and area (b − a)2. ) B , When Or d’après la proposition XLI, l’aire du triangle BCF vaut la moitié de celle du carré ABFG et l’aire du triangle ABD vaut la moitié de celle du rectangle BDKJ. Les deux côtés adjacents à cet angle sont appelés cathètes et le côté opposé est l’hypoténuse. + ou, en dimension supérieure, si A est de coordonnées (xi) et B de coordonnées (x'i) : A r Elle interprète le commentaire de Liu Hui comme une nouvelle lecture de la figure fondamentale avec déplacement des 3 pièces 1 - 2 - 3 de l’extérieur du carré dans le carré de l’hypoténuse. d Mitchell, Douglas W., "Feedback on 92.47", R. B. Nelsen, Proof Without Words: A Reciprocal Pythagorean Theorem, Mathematics Magazine, 82, December 2009, p. 370, The upside-down Pythagorean theorem, Jennifer Richinick, The Mathematical Gazette, Vol. is then, using the smallest Pythagorean triple was drowned at sea for making known the existence of the irrational or incommensurable. figure ci-dessous), la formule s’écrit encore : a2 + b2 = c2. A = + A second proof by rearrangement is given by the middle animation. A triangle is constructed that has half the area of the left rectangle. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} Construits sur les autres côtés. La différence est constituée par quatre triangles d’aire ab/2 chacun. Pour les tracés horizontaux, au vu de ce que l'on sait des cordes disponibles à l'époque et de leur élasticité, la précision de la méthode ne paraît pas compatible avec celle des constructions de grande dimension de l'Égypte antique[26], mais pourrait fonctionner pour des salles ou des édifices de plus petite dimension[27]. Une thèse très répandue chez les historiens jusqu'au milieu du XXe siècle, mais discutée ensuite, est que l'incommensurabilité joue un rôle important dans le développement des mathématiques grecques pré-euclidiennes[38]. A 1 Ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...) est nommé d'après Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας / Pythagóras) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av. d Le théorème de Pythagore est équivalent (en admettant les autres axiomes de la géométrie) à l'axiome des parallèles[52], qui peut être rédigé ainsi : Axiome des parallèles — Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée. z B soit Le triangle jaune a pour grand côté de l’angle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. 2 Likewise, for the reflection of the other triangle. J.-C. qui mentionne trois triplets pythagoriciens[19]. 2 In Einstein's proof, the shape that includes the hypotenuse is the right triangle itself. a B for any non-zero real , Léonard de Vinci[40] et même le président américain James Garfield[41] en ont proposé. Avec les notations usuelles, l’aire totale du grand carré vaut donc (a + b)2 et l’aire du carré intérieur vaut c2. B {\displaystyle x,y,z} Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés alors ce triangle est rectangle. Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Le triangle rectangle y est tracé en gras, le carré de la hauteur a été tracé à l’extérieur du triangle, le carré de la base et celui de l’hypoténuse sont tournés vers le triangle. 313-316. La hauteur de ABC issue de A coupe le côté opposé [BC] en J et le segment [DE] en K. Il s’agit de démontrer que l’aire du carré BCED est égale à la somme des aires des carrés ABFG et ACIH. Angles CBD and FBA are both right angles; therefore angle ABD equals angle FBC, since both are the sum of a right angle and angle ABC. y H Cependant, la déviation par rapport à l’espace euclidien est faible sauf auprès d’imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. On peut également citer d'autres méthodes non mathématiques, par exemple il en existe une mécanique utilisant un équilibre de forces[50]. ( 1 where , c Cette démonstration est à rapprocher de celle du théorème de Ptolémée en prenant un rectangle comme quadrilatère. ». . , is defined, by generalization of the Pythagorean theorem, as: If instead of Euclidean distance, the square of this value (the squared Euclidean distance, or SED) is used, the resulting equation avoids square roots and is simply a sum of the SED of the coordinates: The squared form is a smooth, convex function of both points, and is widely used in optimization theory and statistics, forming the basis of least squares. x The constants a4, b4, and c4 have been absorbed into the big O remainder terms since they are independent of the radius R. This asymptotic relationship can be further simplified by multiplying out the bracketed quantities, cancelling the ones, multiplying through by −2, and collecting all the error terms together: After multiplying through by R2, the Euclidean Pythagorean relationship c2 = a2 + b2 is recovered in the limit as the radius R approaches infinity (since the remainder term tends to zero): For small right triangles (a, b << R), the cosines can be eliminated to avoid loss of significance, giving, In a hyperbolic space with uniform curvature −1/R2, for a right triangle with legs a, b, and hypotenuse c, the relation between the sides takes the form:[65], where cosh is the hyperbolic cosine. The Mesopotamian tablet Plimpton 322, written between 1790 and 1750 BC during the reign of Hammurabi the Great, contains many entries closely related to Pythagorean triples. = The lower figure shows the elements of the proof. ⟩ n {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle \theta } Since both triangles' sides are the same lengths a, b and c, the triangles are congruent and must have the same angles. = d By rearranging the following equation is obtained, This can be considered as a condition on the cross product and so part of its definition, for example in seven dimensions. are to be integers, the smallest solution For example, the starting center triangle can be replicated and used as a triangle C on its hypotenuse, and two similar right triangles (A and B ) constructed on the other two sides, formed by dividing the central triangle by its altitude. {\displaystyle {\dfrac {HB}{CB}}={\dfrac {CB}{AB}}} In other words, a Pythagorean triple represents the lengths of the sides of a right triangle where all three sides have integer lengths. J.-C. à 50), avec une démonstration, utilisant un découpage et une reconstitution, qui ne ressemble pas à celle d’Euclide et qui illustre l'originalité du système démonstratif chinois[18]. , {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout. 0 Then another triangle is constructed that has half the area of the square on the left-most side. J.-C., mais l'histoire du théorème de Pythagore commence plus d'un millénaire auparavant, comme en témoignent plusieurs tablettes d'argile de l'époque paléo-babylonienne[2]. Le théorème de Pythagore étant un théorème portant sur des aires, celles des carrés dont les bases sont les cotés du triangle, on peut le visualiser grâce à des réservoirs de liquide de volume proportionnel aux différentes aires. If the a If the angle between the other sides is a right angle, the law of cosines reduces to the Pythagorean equation. The two large squares shown in the figure each contain four identical triangles, and the only difference between the two large squares is that the triangles are arranged differently. Vidéo de cours. [74], Proclus, writing in the fifth century AD, states two arithmetic rules, "one of them attributed to Plato, the other to Pythagoras",[75] for generating special Pythagorean triples. [8], This proof, which appears in Euclid's Elements as that of Proposition 47 in Book 1,[10] demonstrates that the area of the square on the hypotenuse is the sum of the areas of the other two squares. - Sur Automaths. , which is removed by multiplying by two to give the result. Cette preuve s'inscrit dans un contexte tout à fait différent. [39] In similar triangles, the ratios of the sides are the same regardless of the size of the triangles, and depend upon the angles. d y {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} En Inde, un énoncé du théorème, sous sa forme la plus générale, apparait dans l'Apastamba (en), l'un des Śulba-Sūtras, ces traités du cordeau qui codifient les règles des constructions destinées aux rituels védiques. [16] The triangles are similar with area cos Robson, Eleanor and Jacqueline Stedall, eds., The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, 2009. pp. Since AB is equal to FB and BD is equal to BC, triangle ABD must be congruent to triangle FBC. The upper figure shows that for a scalene triangle, the area of the parallelogram on the longest side is the sum of the areas of the parallelograms on the other two sides, provided the parallelogram on the long side is constructed as indicated (the dimensions labeled with arrows are the same, and determine the sides of the bottom parallelogram). Il n'y a cependant aucun doute que le théorème était connu des grecs bien avant Euclide, par exemple Hippocrate de Chio (Ve siècle av. Il doit son nom à Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique du VIe siècle av. , , est la longueur de l’arc opposé à l’angle droit. Le neuvième chapitre du livre Les neuf chapitres, classique mathématique de la Chine ancienne, s’ouvre sur un énoncé du théorème de Pythagore avec le commentaire laconique : « la base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle-même un carré bleu-vert et l’on fait en sorte que ce qui entre et ce qui sort se compense l’un l’autre (...) alors (...) on engendre par réunion l’aire du carré de l’hypoténuse ». Le théorème de Gougu[43],[44] de gou (base) et gu (hauteur)[45] est reconstitué d’après les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui (IIIe siècle apr. ⁡ θ {\displaystyle (AH+HB)\cdot AB=AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}} This converse also appears in Euclid's Elements (Book I, Proposition 48):[25] .mw-parser-output .templatequote{overflow:hidden;margin:1em 0;padding:0 40px}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite{line-height:1.5em;text-align:left;padding-left:1.6em;margin-top:0}, "If in a triangle the square on one of the sides equals the sum of the squares on the remaining two sides of the triangle, then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.". Clearing fractions and adding these two relations: The theorem remains valid if the angle to the altitude x {\displaystyle AB {=} {\sqrt { (x_ {B}-x_ {A})^ {2}+ (y_ {B}-y_ {A})^ {2}}}} . q [2], Heath gives this proof in his commentary on Proposition I.47 in Euclid's Elements, and mentions the proposals of Bretschneider and Hankel that Pythagoras may have known this proof. The Pythagorean theorem can be generalized to inner product spaces,[54] which are generalizations of the familiar 2-dimensional and 3-dimensional Euclidean spaces. The area of a square is equal to the product of two of its sides (follows from 3). Le théorème de Pythagore (relation de Pythagore) est une formule reliant les carrés des mesures des cathètes et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. B Repeating the argument for the right side of the figure, the bottom parallelogram has the same area as the sum of the two green parallelograms. Pappus's area theorem is a further generalization, that applies to triangles that are not right triangles, using parallelograms on the three sides in place of squares (squares are a special case, of course). De même, les triangles BCI et ACE ont même angle en C avec les égalités AC = CI et BC = CE donc ils ont même aire, donc d’après la proposition XLI, le carré ACIH a même aire que le rectangle CEKJ. Il reste que la connaissance de ce que le triangle 3-4-5 est droit, même si elle n'a rien d'invraisemblable, n'attesterait de toute façon nullement que les carrés des côtés aient été comparés, encore moins de la connaissance du théorème de Pythagore[29]. A Pour un triangle rectangle donné, il est possible de l’inscrire en quatre exemplaires dans les coins d’un carré dont le côté a pour longueur la somme des longueurs des cathètes. Dans un espace vectoriel euclidien, les définitions mêmes de la norme, du produit scalaire et de l'orthogonalité sont déjà d'une certaine façon associées à une forme du théorème de Pythagore (voir ci-dessus). Question : le triangle ABC ci-contre est-il rectangle . Euclide mentionne dans les Éléments[31] (proposition 31 du livre VI) : « Dans les triangles rectangles, la figure construite sur l’hypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables et semblablement construites sur les côtés qui comprennent l’angle droit. x ) d [18][19][20] Instead of a square it uses a trapezoid, which can be constructed from the square in the second of the above proofs by bisecting along a diagonal of the inner square, to give the trapezoid as shown in the diagram. Putz, John F. and Sipka, Timothy A. , Cette page contient des caractères spéciaux ou non latins. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la distance entre deux points s’exprime en fonction de leurs coordonnées cartésiennes à l’aide du théorème de Pythagore par : A n Le théorème de Gua donne une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace euclidien : si un tétraèdre a toutes ses arêtes orthogonales en un sommet alors le carré de l’aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces. y Par bilinéarité du produit scalaire, pour deux vecteurs quelconques {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab} La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante : Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. d For any triangle with sides a, b, c, if a2 + b2 = c2, then the angle between a and b measures 90°. La définition du produit scalaire en géométrie repérée fournit aussi une démonstration purement algébrique. {\displaystyle HB\cdot AB=BC^{2}} For small right triangles (a, b << R), the hyperbolic cosines can be eliminated to avoid loss of significance, giving, For any uniform curvature K (positive, zero, or negative), in very small right triangles (|K|a2, |K|b2 << 1) with hypotenuse c, it can be shown that. = Les témoignages connus au sujet des contributions mathématiques de Pythagore sont tardifs : au plus tôt du Ier siècle av. Published in a weekly mathematics column: Casey, Stephen, "The converse of the theorem of Pythagoras". Une relation similaire existe en géométrie hyperbolique[54] pour une courbure constante égale à −1 : où cosh désigne la fonction cosinus hyperbolique. A Taking the ratio of sides opposite and adjacent to θ. A (Think of the (n − 1)-dimensional simplex with vertices Consequently, in the figure, the triangle with hypotenuse of unit size has opposite side of size sin θ and adjacent side of size cos θ in units of the hypotenuse. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l’énergie conduisent l’espace à être non euclidien et le théorème ne s’applique donc pas strictement en présence d’énergie. Ce dernier, écrit probablement durant la dynastie Han (206 av. c By the Pythagorean theorem, it follows that the hypotenuse of this triangle has length c = √a2 + b2, the same as the hypotenuse of the first triangle. b B Equating the area of the white space yields the Pythagorean theorem, Q.E.D. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5 (par rapport à une unité quelconque) alors il est rectangle. If v1, v2, ..., vn are pairwise-orthogonal vectors in an inner-product space, then application of the Pythagorean theorem to successive pairs of these vectors (as described for 3-dimensions in the section on solid geometry) results in the equation[58], Another generalization of the Pythagorean theorem applies to Lebesgue-measurable sets of objects in any number of dimensions. The Pythagorean theorem has attracted interest outside mathematics as a symbol of mathematical abstruseness, mystique, or intellectual power; popular references in literature, plays, musicals, songs, stamps and cartoons abound. For the baseball term, see, Einstein's proof by dissection without rearrangement, Euclidean distance in other coordinate systems, The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see (. > Substituting the asymptotic expansion for each of the cosines into the spherical relation for a right triangle yields. A By a similar reasoning, the triangle CBH is also similar to ABC. ». Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. [15] Instead of using a square on the hypotenuse and two squares on the legs, one can use any other shape that includes the hypotenuse, and two similar shapes that each include one of two legs instead of the hypotenuse (see Similar figures on the three sides). − , {\displaystyle \theta } Consider the n-dimensional simplex S with vertices {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos(\gamma )} - Sur Mathkangs.org. 2 Les historiens des mathématiques et assyriologues[8] ont découvert à la fin des années 1920 que s'était forgée en Mésopotamie (l'ancien Irak), à l'époque paléo-babylonienne une culture mathématique dont l'objet n'était pas purement utilitariste[9]. 2 . Elle a pu être motivée par la construction de triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont commensurables. J.-C. à -256). J.-C.) sur le Jiuzhang suanzhu 九章算術 « Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique » (206 av.–220 apr. , ) une version vectorielle du théorème de Pythagore (et de sa réciproque). u + v i ». ) b A further generalization of the Pythagorean theorem in an inner product space to non-orthogonal vectors is the parallelogram law :[57], which says that twice the sum of the squares of the lengths of the sides of a parallelogram is the sum of the squares of the lengths of the diagonals. ) x Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la distance entre deux points s’exprime en fonction de leurs coordonnées cartésiennes à l’aide du théorème de Pythagore par : A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2. The underlying question is why Euclid did not use this proof, but invented another. Donc le carré ABFG et le rectangle BDKJ ont même aire. A Finalement, le carré BCED se décompose en deux rectangles BDKJ et CEKJ, dont les aires sont celles de ABFG et ACIH respectivement, ce qui termine la démonstration. C , and the formula reduces to the usual Pythagorean theorem. , Énoncé. A simple example is Euclidean (flat) space expressed in curvilinear coordinates. Mais la question se pose de savoir si ce théorème — ou cette procédure — était muni ou non d’une démonstration. However, this result is really just the repeated application of the original Pythagoras's theorem to a succession of right triangles in a sequence of orthogonal planes. {\displaystyle {\vec {u}}} Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. La relation algébrique entre ces aires s’écrit alors (a + b)2 = 4 (ab/2) + c2, c’est-à-dire a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2, ce qui revient à a2 + b2 = c2. Le dessin ci-contre est proposé par Jean-Claude Martzloff[46] d’après une édition de 1892 des Neuf chapitres. Let ACB be a right-angled triangle with right angle CAB. B B Le théorème et sa conclusion, accompagnés de démonstrations, concluent le livre I des Éléments d'Euclide, rédigés probablement au début du IIIe siècle av. It will perpendicularly intersect BC and DE at K and L, respectively. = Pour utiliser le théorème de Pythagore, on doit connaître les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle. = 1 . L'incommensurabilité a pu être mise en évidence géométriquement, sans qu'il soit question de racine carrée donc sans recourir au théorème de Pythagore[37], mais le théorème de Pythagore autorise une preuve arithmétique, dans le cas de la diagonale du carré en montrant qu'aucune fraction d’entiers n’a de carré égal à 2, soit l'irrationalité de √2[37]. b Such a space is called a Euclidean space. The area of the trapezoid can be calculated to be half the area of the square, that is. C The above proof of the converse makes use of the Pythagorean theorem itself. [56], The concept of length is replaced by the concept of the norm ||v|| of a vector v, defined as:[57], In an inner-product space, the Pythagorean theorem states that for any two orthogonal vectors v and w we have. C {\displaystyle AB{=}{\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}}. A n > Donc les triangles BCF et ABD ont même aire. x do not satisfy the Pythagorean theorem. [37] If (x1, y1) and (x2, y2) are points in the plane, then the distance between them, also called the Euclidean distance, is given by. and altitude Le triangle bleu a pour grand côté de l’angle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial. One of the consequences of the Pythagorean theorem is that line segments whose lengths are incommensurable (so the ratio of which is not a rational number) can be constructed using a straightedge and compass. Historians of Mesopotamian mathematics have concluded that the Pythagorean rule was in widespread use during the Old Babylonian period (20th to 16th centuries BC), over a thousand years before Pythagoras was born. b 2 . {\displaystyle a,b,d} La loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi donne une formule faisant intervenir les longueurs des côtés et le cosinus de l'un des angles d'un triangle quelconque.