limite de suite

Une suite Dans un espace métrique, on dit qu'une suite - Pour on factorise par n4. ) N , Complète ce résultat sur les limites. La notion de limite d’une suite a permis de comprendre un paradoxe imaginé par le philosophe grec Zénon d’Elée environ 465 ans avant Jesus-Christ : le paradoxe d’Achille et de la tortue. La suite (–1/2, 2/3, –3/4, 4/5, –5/6, …) = ((–1)nn/n+1)n∈ℕ* (cf. n On dit que la suite (n) n u ∈• admet (ou a) l pour limite , ou encore converge (ou tend) vers l, si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,f(u_{n})} Si deux suites u et v tendent toutes les deux vers l'infini ou tendent toutes les deux vers 0 alors on ne peut pas conclure directement pour la limite de u÷v : ce sont de nouvelles formes indéterminées. ) alors, De plus, si f est une fonction continue en ( Complète ce résultat sur les limites. {\displaystyle (u_{n})} si une suite tend vers l'infini alors son inverse converge vers 0 ; si une suite, de signe constant, converge vers 0 alors son inverse tend vers l'infini. }�V��,��tݥ��G�W��T�0y�� z��ٶU$��Ů�i��+�G��I��:,~��y��ޜ��#&u}��I�w�+� af�t�[#'m�_ꩫ��2��s��L��: �I��Al18�up;F�H�-��f��]X#GmO� �Xn� 3P�R�.0p۳��Bs��F��!�Xe� �m>n{.�A�5~��Ô�q",�;��t�1ƢF�*7)Ƕ��7�&��k��y�K�:��]Un0 n ℓ Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». ) n tandis que ceux de v continuent de monter indéfiniment : une suite peut donc avoir une limite finie ou infinie. Considérons les suites définies par les formules appartiennent à O. Il suffit que l'espace soit séparé pour pouvoir affirmer que la limite est unique. C'est le cas, par exemple : On démontre que les opérations sur les suites convergentes se transmettent à leurs limites pour peu que l'opération ait un sens. n Pour qu'une suite u admette comme limite un nombre l, il faut que ses termes se rapprochent de plus en plus de l. ℓ N ∈ N En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. une suite à valeurs dans un espace métrique E. Si +∞×(+∞) fait : -∞ 0 1 +∞ on ne peut rien dire. Cette section ne traite que le cas des suites à valeurs dans un espace métrique donc à bases dénombrables de voisinages. u R N n N Si deux suites u et v tendent ver… (dans le cas de -∞) à ce nombre. . ) {\displaystyle v\rightarrow \ell '} N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Si deux suites u et v tendent vers +∞ alors la suite w=u+v tend aussi vers +∞ (idem pour -∞). u N Dire que la suite u admet pour limite l signifie que tout intervalle ouvert ]a ; b[ contenant l contient tous les termes de la ( Exemples u ∈ ) Toutes les définitions précédentes se rejoignent dans la définition de la convergence dans un espace topologique. Une suite n'admet pas forcément une limite finie ou infinie. N n Cette définition se traduit formellement par : On dit qu'une suite tend vers –∞ si tout intervalle de la forme ]–∞, A[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux. {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Pour que la limite soit 3, il faut que pour tout nombre ε (epsilon) fixé aussi petit que l'on veut, la suite contienne, à partir d'un certain rang, une infinité de termes dans l'intervalle ]3-ε;3+ε[. Méthode, Dans ce cas, on peut essayer de multiplier les deux suites entre elles pour se ramener à un quotient. figure) est décomposable en deux sous-suites : Les deux sous-suites convergeant vers des limites différentes, la suite initiale ne converge pas. ℓ ��t�k��,m��R��ߗ��b;Ǭ"��2A��8)��/#i�qn.5\��.��2��T��*VX`��2L��;�L�7ݥ��#Д�:�1h��MvF.�M4g�\�QH#�P;�PW��~2{�v?�ċ��ᷧ�7�� }�M�` ��*�N �^�Oi3Ηq$�� 8��O �y�I\n��'�I�X��mK�d9l��f��'O�ǆ) n Exemple : . Seule l'unicité de la limite est conservée. ��NS��u4��%5"�Bv3��)� ��DAD. Mais cela ne suffit pas. ∈ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang). On remarque qu'il s'agit de la même définition que dans La valeur absolue de un-l est la distance entre un et l (cacher). c'est encore une forme indéterminée. ℓ Vous l’attendiez tous, voici le détail des limites des suites géométriques, de premier terme $u_0 = 1.$. On dit qu'une suite tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux (i.e. Une suite géométrique de raison q admet pour limite 0 si -10, ∃n0 tel que ∀n>n0, un>M. {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Limite de la somme de termes consécutifs Méthode : Calculer la limite de la somme des premiers termes d'une suite (le signe du résultat suit la règles des signes pour un produit). u L'intervention de suites tendant vers ±∞ rend les calculs un peu plus compliqués : On dit qu'une suite converge vers un complexe ℓ si. Exemple de calcul, 5. n u u ( ) ∈ → N On en déduit donc que cette suite est convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Prérequis à l'étude des limites d'une suite - Définitions et théorèmes Définition Soit u une suite et l un réel. {\displaystyle n\mapsto 2n} u La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. ��1~?^f'�Ԟ�݀�߱=�`+��m�� aK��2�� hd˵MXCn�ȃބ��MX]�IHb��c�܅PH�6܉*� ͺ�%߀��BGު�@�G�\�f,G�Pi��UI�A,�v�Z1��B)M�k��5��܃�#Խ��D��6�#�a��9l�0�c��[f\{x��&�UI��U��f��:-��Qo^��*Ln4M��4��v�&�XзBٱ��\�>x�f��A�C��|�"��e�:�4�6�O�F��;?_g�r��M��&�f��0Ej Dans un espace vectoriel normé, on dit qu'une suite La dernière modification de cette page a été faite le 27 décembre 2018 à 15:31. Ce n'est que dans un espace vectoriel normé complet que l'on pourra affirmer que toute suite de Cauchy converge. En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cherchant à calculer l'aire du disque ou l'aire sous une parabole, par exemple, il cherche à l'approcher par des aires de polygones et observe alors la différence entre l'aire cherchée et l'aire du polygone. n ∈ n 1 Si une opération existe sur l'espace en question, il faudra qu'elle soit continue pour se transmettre à la limite. ��j�K[��I�ؖ�r��e�1�);��R�!� - Pour on factorise par n2. u ( si, pour tout ouvert O de T contenant l'élément ℓ, il existe un entier naturel N tel que tous les 1. 2 n ∈ ( Cela se lit : "Pour tout epsilon positif, il existe un rang n0 tel que pour tout n supérieur à n0, la ( v On dit qu'une suite réelle admet pour limite un réel ℓ si : On dit également qu'elle converge vers ℓ. Si une suite possède une limite réelle, on dit qu'elle est convergente[1] ou qu'elle converge. C'est la « méthode d'exhaustion ». 燼�T�{�G��(mj7��I��+�n�97t {��|W��6��0y ) � à valeurs dans E : si. f valeur absolue de un-l est inférieure à epsilon". u Complète ce résultat sur les limites. , ) Toute suite croissante et majorée est convergente. Inégalité de Bernoulli et limites de suites. ) {\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }} ∈ Il démontre qu'à chaque étape, cette différence a été réduite de plus de la moitié et c'est ainsi qu'il conclut qu'en continuant indéfiniment le processus on sera aussi proche qu'on le souhaite de l'aire cherchée. u ��0;��!��̒�%e�%��@&2Q��^�Ɉ�L# $�B"��˺��4�Ϧ��SWN�|i�f(�~Q�G��wu��]Y��߽F��t�w�0֗j��R�uS�~)�T��G��R~��Ԕu��/˧�*?~rc��v �~(��2�u��~� V��|��w1 ��?��c�Z�O�=��_�U��/��5Uu�ڪ>0��)m��0pm�j�Tc3&�/�t��_�s��a&?��y��Ŗ��4�&��l��C�0�7䫣k�ݪ�/D۶��n.D�b��SA|^��v�e��t��˪��uv�D��iƄ�?/ߥiŇ��c�>=]U_��S�oH +hC��:_u��W��]a�k|��e�ƫ� 2 n C'est une généralisation de la limite d'une suite complexe, la norme usuelle dans le plan complexe étant le module. Dans ce cours, nous allons voir la notion de limite qui permet de décrire le comportement d'une suite numérique lorsque ses indices deviennent très grands. {\displaystyle f(u)\rightarrow f(\ell ).}. N Dans les Éléments d'Euclide (X.1), on peut lire : « Étant données deux grandeurs inégales, si, de la plus grande on retranche plus que la moitié, et que du reste on retranche plus que la moitié et si l'on continue toujours ainsi, nous aboutirons à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs donnée ». {\displaystyle \ell } N On dit que c'est une forme indéterminée. �euPU��oR σ ( N converge vers ℓ si. N D’abord, deux démonstrations de niveau terminale générale (spécialité maths). Cette intuition de la limite mal formalisée ne permettra cependant pas de lever les paradoxes de Zénon, comme celui d'Achille et de la tortue : Achille part avec un handicap A et court deux fois plus vite que la tortue. {\displaystyle n\mapsto 2n+1} ↦ Dans ce cadre, la notion de valeur d'adhérence telle que définie ci-dessous coïncide avec la notion générale, qui est différente. indéterminée. ( ) ∈ ∈ → f Elle vérifie donc $\ell=\sqrt{\ell} \ssi \ell-\sqrt{\ell}=0 \ssi \sqrt{\ell}\left(\sqrt{\ell}-1\right)=0$ Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul. ( pour Si une suite u tend vers 0 et qu'une suite v tend vers l'infini, alors on ne peut pas conclure directement sur la limite du produit, En effet, les termes de la suite un=3-1/n se rapprochent de plus en plus de n'importe quel nombre plus grand que 3, par exemple 4, mais 4 n'est pas sa limite pour autant. n n Si une suite u tend vers +∞ et si une suite v tend vers -∞ alors on ne peut rien dire de la limite de la somme de ces deux suites. Si la formalisation de la limite d'une suite vient assez tard, son utilisation intuitive date de plus de 2 000 ans. Intersection d'une droite avec un plan, 7. Grosso modo, c'est la suite ) ′ N convergent vers l. Dans le cas où E est un espace compact, on dispose même d'une réciproque. ( �}�X��u�>8l��b��z%tL�C�=x8*�P;��W��n��NLg�XN��FPWa�n�[9�ta��4u�#>N@6��p(獩S��b�f��;��W�mP׎�C�V��C�Z��G4zRk炵��(�3u�S�uQ�v��e��P�δ�Tx� �^�@�zᶔ28ˀ7�Y�`��k�EV��jg�A�qDTG�L��O[܎:�fi6��;�Pf*7)��4�q�M�q�w֎�iL�GGO�×�k×�K�g��[´qW��E�l� y c��kG�۞��a2��9�,L�p'c:�kq�q�be��p��mzL�o31�� ы��!��q�4Lv�"L�׌3p{\N��Mv�dsG�L5nw�i��)�j C'est le cas des suites définies par les formules un=(-1)n et vn=cos(n). Soit On dit que la valeur ℓ est une valeur d'adhérence de la suite ∈ Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite. converge vers {\displaystyle \ell \in E} E x�]�$�q�_OQ�9c�ͺ� ) Si une suite u tend vers un nombre non nul et qu'une suite v tend vers 0 alors la suite u÷v tend vers l'infini. {\displaystyle u\rightarrow \ell } Équations caractéristiques dans l'espace. Exemples de suites n'admettant pas de limite, « Étant données deux grandeurs inégales, si, de la plus grande on retranche plus que la moitié, et que du reste on retranche plus que la moitié et si l'on continue toujours ainsi, nous aboutirons à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs donnée », elle admet au moins une valeur d'adhérence dans, dans « Limite (mathématiques élémentaires) », https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Limite_d%27une_suite&oldid=155158092, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, quand elle existe, la limite est unique (car les termes de la suite ne peuvent pas se trouver dans deux intervalles, une suite encadrée par deux suites convergeant vers la même limite ℓ converge aussi vers ℓ : c'est le, toute suite croissante non majorée tend vers, toute suite supérieure à une suite tendant vers, des suites géométriques de raison inférieure ou égale à –1, comme, la suite non bornée (1, –2, 4, –8, 16, –32, …), géométrique de raison –2, ou même. n n N On dit donc qu'une suite u admet une limite finie l si ∀ε>0 ∃n0 tel que ∀n>n0 |un-l|<ε (lecture). Dans ce cas, on factorise le haut et le bas par le terme de plus haut degré du polynôme le plus petit. ( ȋ0�ë�K߶��s�+��S+\��2� 7V�Q��|'1��y_��]?_��^,@�;�~��(�D�ӏ��}u�! {\displaystyle \mathbb {R} } u 3. 4 0 obj {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Mathématiquement parlant, cela signifie que si Si une suite Comparaison graphique de nombres dérivés, 6. ↦ ( Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u+v tend vers l+l'. n {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }.}. ne converge pas. Toujours lorsque E est un espace métrique, on dispose du puissant théorème de Bolzano-Weierstrass : Un espace métrique E est compact si (et seulement si) il est séquentiellement compact, c'est-à-dire si toute suite à valeurs dans E admet au moins une valeur d'adhérence dans E. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. il existe un rang à partir duquel tous ses termes sont supérieurs (dans le cas de +∞) ou inférieurs ( -20+∞ fait : -∞ 0 1 +∞ on ne peut rien dire. → n n On dit que la suite L'exemple fondamental d'une suite tendant vers l'infini est celui de l'inverse d'une suite de signe constant et tendant vers 0 : Deux résultats sont assez faciles à obtenir : Certaines suites réelles ne tendent ni vers un réel, ni vers +∞, ni vers –∞. ) u u - Pour on factorise par n3. Nous verrons plus loin comment calculer la limite dans ce cas. Il y a une forme indéterminée +∞-∞ car et . II ] Limites de suites Définition suite convergente: Soit (n) n u ∈• une suite réelle et l un réel. ∈ n On retrouve pour les suites complexes convergentes, les mêmes propriétés que pour les suites réelles, exceptées celles liées à la relation d'ordre : la limite est unique, une suite convergente est de module borné, toute suite de Cauchy converge (en effet, ℂ est aussi complet), les différentes opérations comme somme, produit, quotient se transmettent bien à la limite. << /Length 5 0 R /Filter /FlateDecode >> Pour connaître le signe de cet infini on regarde si la suite tend vers 0 par valeurs positives (on écrit 0+) ou par valeurs négatives (on écrit 0-) et on utilise les règles des signes pour un quotient. La définition précédente se traduit formellement par : Les propriétés de complétude de ℝ permettent aussi d'affirmer que. converge vers ℓ si. u ( Voyons maintenant comment on calcule la limite d'une suite quand il y a une forme indéterminée. ( N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} },} n alors {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} n N n ��BF��ش��>�A0v2��ٵ1�̈~{�7�(�WF�:nu��0��2LH>�a��p�=x6��;X`M?� ( n 3÷0- fait : -∞ 0 1 +∞ on ne peut rien dire. {\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }} n n ) n σ ) \�ի�fME3��Ƅb|5�� 7�i��)��?��&��|�/�+�SS��g`a#|� o�âϻo��|n��1�o�×�!��x�? f est définie alors Si deux suites u et v tendent vers l'infini alors la suite w=u×v tend aussi vers l'infini (+∞ ou -∞). Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». En termes plus formels : En langage actuel, cela donnerait : D'aucuns pourraient croire que cette interprétation du dixième élément d'Euclide est une modernisation fallacieuse, il suffit pour les détromper de regarder l'utilisation qu'en fait Archimède dans ses méthodes de quadrature. qui converge vers ℓ. Pour se faire une idée, une valeur d'adhérence est un élément « près duquel la suite passe souvent », c'est-à-dire qu'aussi loin qu'on aille, on trouvera toujours un terme de la suite près de cet élément.