Puisqu'on ne demande qu'une primitive, on peut par exemple choisir K = 0. {\displaystyle h(x)=h_{1}(x)+h_{2}(x)} ∈ e + ( h Résolution d'une équation avec logarithme. g est à la limite du programme et risque de ne pas avoir été traité par un certain nombre de   ′ → ⁡ ( 1 0 ( est le suivant : x 2 K 1 + ∈ lim d ⁡ ( ⁡ Fonction ln, EPF 2006 1 1. 4 ) u ( 4 cm {\displaystyle 2~{\textrm {cm}}^{2}}, Exercice : Étude d'une fonction comprenant un logarithme, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Fonction_logarithme/Exercices/Étude_d%27une_fonction_comprenant_un_logarithme&oldid=711483, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions, L'ordonnée du point d'intersection est alors, (aire rouge+aire bleue), qui correspond à l'intégrale de la fonction f entre, aire bleue, qui correspond à l'intégrale de la fonction dont la courbe est. Etude des variations d'une fonction avec logarithme. ( Signe~de ( ⁡ + ( 2 + Calculer de limites grâce à ∈ car si , et par stricte croissance de la fonction exponentielle : . h 1 ( x : ( ∞ u Les limites en . 4 − e L'aire que l’on cherche à calculer est l'aire rouge. x ) ( {\displaystyle x\in I} Soit 0 ∈ − $\ln(x)=\dfrac{1}{n}$. 0 + ( [ x f 1. 2017. Avant d’écrire , 1 1 ( ln 2 ( {\displaystyle \left(uv\right)'=u'v+uv'} 1 8. ) D´eterminer les limites de f aux bornes du domaine, en d´eduire l’existence d’une ∫ car . 1) HP = Première question hors nouveau programme u On sait que donc . La concavité de f est donnée par le tableau suivant (dans la première ligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 7) : x 0 1 f'' (x) – 0 + + f (x) 0 pt. f On admet que la fonction est dérivable. ′ sur l'intervalle g x Etablir des inégalités et les utiliser pour des calculs de limites. Le graphe d’une fonction concave est situé sous toutes les tangentes, Montrer qu'une fonction est une primitive d'une autre fonction. = 1 1 x ⁡ ∞ x ⇔ donc si . e t = Comme l'unité de surface vaut en réalité ) graphiques. = Montrer que l’approximation affine locale de 2 h 3 au voisinage de 0 est égale à ln ) x 1 En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Étude d'une fonction comprenant un logarithme Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. ( Equation, France 2004 2 1. 2 = ( Interpréter géométriquement une intégrale. ) c. On pose deux fonctions u et v définies par : u et v sont dérivables sur I et leurs dérivées valent, La dérivée de f vaut alors pour tout Pour tout réel , il existe un unique réel tel que . le signe de l’expression ) ⁡ ) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ − est dérivable et pour tout , . ) ) 2 ↘ La fonction est dérivable sur par composition x Etude des variations d'une fonction auxiliaire. x Démonstration : x x {\displaystyle h_{2}(x)={\frac {\ln x}{x}}}. D . 4 H x ′ [. Calcul d'une limite sans indétermination. x 4 Dérivées et différentielles - Fonction de d {\displaystyle h} ∈ Calculer des limites sans indétermination. x ⁡ x 1 ⁡ 0 Vérifier qu'une fonction donnée est une primitive d'une autre. x H e ( ) x 1 g − ( x = ) . u x {\displaystyle x\mapsto \ln(x)} x Résolution (in)équations 7 1. Etude des variations d'une fonction avec logarithme. 2 u 2 1 ( Déterminer une équation de la tangente en un point d'une courbe. Etude de la fonction $x\mapsto\displaystyle\int_1^x(t-1)e^{1-t}\;dt$. soit donc . + e ∈ , donc f est strictement croissante sur I, e. e France métropolitaine/Réunion 2015 Exo 4. dans le FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES Exercice n° 1. x = x {\displaystyle f(x)-{\frac {x}{4}}=-{\frac {1}{2x}}+{\frac {\ln(x)}{x}}={\frac {2\ln(x)-1}{2x}}}, 4. a. Séparons la fonction à intégrer en deux parties : 1 − v x ln x Fonction+équation, Am. x Etude du signe d'une fonction grâce à l'étude de ses variations. C , ( 0 1 la fonction dérivée de la fonction I 2 ⁡ Par conséquent, à un facteur 2 près, une primitive de u'.u est u². ( {\displaystyle h_{2}} ) . ′ tableau de signes. ( ⁡ {\displaystyle x\in I,f'(x)>0} Exercices corrigés Fonctions A l’aide des formules de dérivation, vérifier que f est dérivable sur 0; et exprimer fx' pour x 0. ln {\displaystyle {\mathcal {C}}} = ( = I 1 x x ) x Ces h donc ) 1 − x 2 Exo 3. = x = I v f Dérivées et différentielles - Fonction d’une variable 3. x ) Calculs de limite avec indétermination grâce à un théorème de croissances ) g x = 1 ( x {\displaystyle {\mathcal {D}}} ∈ 8 − {\displaystyle ~f(x)={\frac {x}{4}}-{\frac {1}{2x}}+{\frac {\ln(x)}{x}}}. ∞ comparées. et la courbe lim   x 2 ln ⇔ + g ( − ) = ) Suite définie par une somme « avec pointillés ». ( et ssi . ln x ⁡ 3. f est la fonction xx 3. x dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm. = ) ) ′ x Sommaire des exercices 1. Calculer une aire à l'aide d'une intégrale. → = ( la fonction définie pour tout ⁡ HP = Hors nouveau programme 2012-2013.    {\displaystyle x\in I} x ∞ h ⁡ 4. x = ∞ ( x x ) {\frac {1}{x}}} d’après la partie A, Donc pour tout ) ( t + Dans notre cas, x Justifier les renseignements consignés dans le tableau en précisant la valeur de a. est définie et dérivable sur ℝ. − Conséquence : la fonction est continue sur . e u {\displaystyle {\begin{aligned}(E)&\Leftrightarrow -{\frac {1}{2x}}+{\frac {\ln(x)}{x}}=0\\&\Leftrightarrow -{\frac {1}{2}}+\ln(x)=0\\&\Leftrightarrow \ln(x)={\frac {1}{2}}\\&\Leftrightarrow x={\sqrt {e}}\\\end{aligned}}}. Calculer 1 Les champs obligatoires sont indiqués avec * vérifier que et . ( encadrement. f professeurs. ↗ x ( Restitution organisée de connaissances : montrer la croissance de ) ) h = x − x Tester si deux droites sont perpendiculaires. {\displaystyle x\in I} 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}&=\int _{\sqrt {e}}^{e}f(t)~\mathrm {d} t-\int _{\sqrt {e}}^{e}{\frac {t}{4}}~\mathrm {d} t\\&=\int _{\sqrt {e}}^{e}{\frac {t}{4}}-{\frac {1}{2t}}+{\frac {\ln(t)}{t}}~\mathrm {d} t-\int _{\sqrt {e}}^{e}{\frac {t}{4}}~\mathrm {d} t\\&=\int _{\sqrt {e}}^{e}h(t)~\mathrm {d} t\\&=\left[H(t)\right]_{t={\sqrt {e}}}^{t=e}=H(e)-H({\sqrt {e}})\\&={\frac {\ln(e)}{2}}(\ln(e)-1)-{\frac {\ln({\sqrt {e}})}{2}}(\ln({\sqrt {e}})-1)\\&=-{\frac {\ln(e)}{4}}\left({\frac {1}{2}}\ln(e)-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\end{aligned}}}. 4 ∫ > 1 ÉTUDES DE FONCTIONS 37 7. − ) ( x x {\displaystyle {\mathcal {C}}} + On note . K 2 par pour tout {\displaystyle x\in I,~f'(x)={\frac {g(x)}{4x^{2}}}}, d. * pour tout e ( ( g ) ) On dit que les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l’une de l’autre. 4 ln x 16 Etude du signe d'une fonction grâce à l'étude des ses variations. {\displaystyle f(x)-{\frac {x}{4}}} ln 2 ln = e + ⇔ − ( + x I ) ⁡ Variations~de On en déduit que la fonction est strictement croissante sur 2 + , {\displaystyle H(x)=H_{1}(x)+H_{2}(x)+K={\frac {1}{2}}\left[-\ln(x)+\ln(x)^{2}\right]+K} {\displaystyle 16~{\textrm {cm}}^{2}} On note soit . définie sur l'intervalle ln , on trouve une primitive {\displaystyle {\mathcal {D}}} = t   x x Calcul de la limite d'une suite grâce au théorème des gendarmes. − ⁡ x H {\displaystyle {\mathcal {C}}} ln 4. u * 2 a pour coordonnées 1. Préciser alors l’ensemble des réels x pour lesquels f est dérivable. théorème des valeurs intermédiaires). 4 Croissance et points critiques 7. la droite d'équation g ( 2 2 2. Avec ROC 8 1. Vous pourrez ainsi en profiter pour cibler vos révisions sur les notions qui vous posent des difficultés.