démonstration somme inverse carrés

À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. | Son exposant dans n est donc le même que dans d2. La logique suivie consiste à étudier les nombres à l'aide d'une démarche structurelle. En revanche, 45 = 32×5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve bien que 45 = 62 + 32). Et le double de chascun d'iceux. Lagrange ne considère que des formes à coefficients entiers ; l'étude des formes à coefficients réels ne commencera qu'un demi-siècle plus tard. c Dans une longue missive à Mersenne[21] datée du jour de Noël 1640, Fermat énonce ses fondements pour résoudre tous les problèmes liés aux sommes de carrés. Il divise une somme de deux carrés premiers entre eux (voir supra). Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. C'est à peu près à la même date que Marin Mersenne met en place à Paris une académie toute mathématique communiquant les résultats des différents travaux, et appuyée sur un important réseau de correspondants à travers toute l'Europe. a Il existe donc un entier a vérifiant les conditions voulues. c ». Re : La somme des inverses des carrés. {\displaystyle x,y} Une solution consiste en une réinterprétation algébrique de ces problèmes : tout comme Stevin, François Viète, l'inventeur d'un des premiers symbolismes algébriques cohérents à grande échelle, a ainsi reformulé une grande partie des Arithmétiques de Diophante à la fin du XVIe siècle. La preuve de Heath-Brown était elle-même inspirée par une preuve de Liouville. k L'énoncé complet du théorème et des applications figurent dans une observation au livre III, un cas particulier au livre V, près du problème 12 de Diophante mentionné plusieurs fois. Il contient des démonstrations de tous les résultats de l'article. 2 Alors qu'il publie, en 1625, la traduction par Simon Stevin des livres de Diophante, Girard annonce sans preuve, dans ses annotations[11], que les nombres s'exprimant comme somme de deux carrés d'entiers sont, « I. Tout nombre quarré. Considérons la suite de polynômes Qi(X) définie par récurrence de la manière suivante : Pour tout entier i compris entre 1 et 2n, le polynôme Qi est de degré 2n – i et son coefficient dominant est égal à (2n)(2n – 1)… (2n – i + 1). De telles formes seront appelées « équivalentes » par Gauss quelques décennies plus tard et l'exploration de cette relation entre formes quadratiques par Lagrange constitue l'une des premières études connues d'une relation d'équivalence. La somme des inverses des carrés vaut pi 2 /6 si ma mémoire est bonne et je pense que je sais le démontrer en partant d'un signal, en faisant la série de Fourier et en donnant une valeur à la variable. 4 La technique de la preuve est une analogie combinatoire du principe topologique que la caractéristique d'Euler d'un espace topologique avec une involution a la même parité que celle de l'ensemble de ses points fixes. Reste la preuve que tout nombre premier de la forme 4k + 1 est somme de deux carrés. (Fermat's two square theorem), cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres », Les entiers de Gauss et le théorème des deux carrés, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat&oldid=172489794, Article contenant un appel à traduction en allemand, Article contenant un appel à traduction en anglais, Portail:Arithmétique et théorie des nombres/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, le théorème principal : un nombre premier. Le lemme de Thue, qui n'a été démontré qu'au début du XXe siècle mais utilise simplement le principe des tiroirs de Dirichlet, permet de prouver que pour tout nombre premier p ≠ 2, la condition « –1 est un carré modulo p », identifiée plus haut (§ « Gauss et ses entiers » et « Fermat et son petit théorème ») comme équivalente à p ≡ 1 (mod 4) et nécessaire pour que p soit somme de deux carrés, est également suffisante[62]. Or Q2n(1) est combinaison linéaire à coefficients entiers des entiers Q0(1), Q0(2), … , Q0(1 + 2n). + On y trouve une démonstration fondée sur l'approche de Lagrange en page 12 et 13. , {\displaystyle a=uV,b=vU,c=UV} Méthode générale pour calculer la somme des entiers, des carrés, des cubes, etc. En revanche, le théorème traité n'est pas celui de l'article, même si les outils utilisés sont analogues. Cette correspondance est une des deux principales sources pour les travaux arithmétiques de Fermat, l'autre étant ses propres commentaires à l'édition de Diophante qu'a donnée Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621[13]. Par exemple, Diophante note sans explication que 15 ne peut être la somme de deux carrés de nombres rationnels au milieu de la solution du problème VI.14. En 1801, Carl Friedrich Gauss publie un livre d'arithmétique novateur[40]. Ce livre est un ouvrage didactique, déjà ancien mais de nombreuses fois réactualisé, et faisant toujours référence comme introduction à la théorie des nombres. {\displaystyle p={\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\ } c'est-à-dire les nombres décrits dans l'énoncé général ci-dessus. La division euclidienne disparait, puis, fait encore plus gênant, le théorème fondamental de l'arithmétique garantissant l'unicité de la décomposition en facteurs premiers s'évanouit à son tour. la propriété d'un entier p d'être somme de deux carrés d'entiers. Outre son chapitre VI dédié aux sommes de deux carrés, ce volume 2 traite largement Diophante au chapitre II. Quatre autres livres ont été retrouvés dans une version arabe vers 1970, cf. Somme des puissances de 2 à 20 . L'une au moins de ces valeurs est donc non multiple de p, ce qui termine la démonstration[52]. Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Si p est un nombre premier congru à 1 modulo 4, l'objectif est de montrer l'existence d'un entier de Gauss z tel que N(z) = p. Il existe deux entiers relatifs m et q tels que m2 + 1 = pq, autrement dit : Cette égalité prouve que p n'est pas premier comme entier de Gauss, puisqu'il ne divise ni m + i, ni m – i, le nombre complexe (m/p) ± (1/p)i n'étant pas un entier de Gauss. De plus, l'implication de cette proposition, restreinte aux nombres premiers, est en fait une équivalence : Un nombre premier p ≠ 2 divise (au moins) une somme de deux carrés premiers entre eux si (et seulement si) p est de la forme 4n + 1. 3) modulo 4, la formule suivante est vérifiée : Ici, on compte toutes les représentations (non normalisées), même celles qui ne diffèrent que par le signe ou l'ordre. Or, il existe peu (voire pas du tout) de modèles de telles preuves d'existence dans un contexte arithmétique. L'égalité pour 1/x² n'est pas de moi. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël. En effectuant dans q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 le changement de variables x = αX + βY, y = γX + δY, on construit une forme quadratique entière Q(X, Y) = a' X2 + b' XY + c' Y2 équivalente à q et telle que mn = q(α, γ) = Q(1, 0) = a'. ce qui prouve que |A| ≥ |B|. Une telle expression est appelée une forme quadratique binaire[35] (c'est-à-dire une forme quadratique à deux variables). Une autre expression équivalente du nombre de décompositions a été donnée par Charles Gustave Jacob Jacobi[3] : Théorème des deux carrés (compléments)[4] — Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et r2(n) le nombre de représentations de n comme somme de deux carrés. Une connaissance plus avancée en arithmétique modulaire permet une démonstration plus expéditive. c C'est en lien direct avec les éditions et commentaires des Arithmétiques de Diophante que l'on trouve au XVIIe siècle une exploration plus systématique, puis les premiers énoncés complets de ce théorème. Ce livre est un assemblage de 24 articles sur Euler pour. D'autres comme 3 ou 7 ne vérifient pas cette propriété. », Les détails de l'utilisation de cette méthode par Fermat sont explicités dans, Pour le détail délicat des dates et des publications des différents résultats, voir. {\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} \quad |B|\leq |2Ak+B|,} On trouve trace de ces résultats au fil de sa correspondance avec Christian Goldbach[29] (qui contribue lui-même à cette étude), dès le début des années 1740, avec des publications détaillées, dans les Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg en particulier, une décennie plus tard[30]. Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) élucide la structure des éléments inversibles, Ernst Kummer (1810-1893) trouve comment remplacer les facteurs premiers manquant à l'aide d'une notion maintenant appelée idéal, Évariste Galois (1811-1832) ébauche une vaste théorie permettant de mieux comprendre comment les nombres se multiplient[pas clair]. La dernière modification de cette page a été faite le 30 juin 2020 à 15:43. Les mathématiques se sont professionnalisées partout en Europe et des journaux réguliers, en particulier les publications des diverses Académies des sciences, offrent la possibilité de publier au fur et à mesure résultats et preuves. a Dans le livre III, il affirme que le nombre 65 est une somme de deux carrés de deux façons différentes, car c'est le produit de 5 et 13, eux-mêmes sommes de deux carrés[8]. Une condition nécessaire pour que p soit somme de deux carrés est donc qu'il divise une somme de deux carrés premiers entre eux. Soit Pn l'unique polynôme tel que. Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs carrés : La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit des racines carrées. En revanche, la rédaction choisie utilise le formalisme moderne : ainsi, la présentation des résultats de Diophante est très éloignée de la forme géométrique présente dans les textes originaux. Pour cette raison, le théorème est parfois appelé théorème de Fermat de Noël. Soit d1 (resp. Elle repose sur l'utilisation d'une équation bien choisie au départ.. N'oubliez pas que la méthode la plus simple pour calculer la somme des … Et si a et b sont premiers entre eux, alors a2 + b2 n'a aucun facteur premier de la forme 4k – 1. Un dernier aspect important est la construction explicite des carrés dont la somme est égale à un entier donné. Jacobi les utilise pour établir une démonstration du nombre exact de décompositions d'un entier en deux carrés (voir supra). Reprenant une suggestion de Fermat, il interprète aussi le théorème sur les sommes de carrés comme un test de primalité[32]. Un contexte important est l'étude des triangles rectangles en nombres, ou triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des nombres vérifiant a2 + b2 = c2 : en effet, si les côtés a, b, c sont premiers entre eux, c lui-même s'écrit comme une somme de carrés. Euler étudie en particulier, à côté d'autres équations diophantiennes, les trois familles d'équations suivantes : Ici, m désigne un nombre entier strictement positif et p un nombre premier. La numérotation des problèmes varie d’une édition à l’autre, on utilise ici celle de cette édition. Une question naturelle est d'identifier également les entiers positifs qui divisent une somme de deux carrés premiers entre eux, c'est-à-dire (voir supra) les entiers modulo lesquels –1 est un carré, donc (§ « Lagrange et les formes quadratiques » ou § « Lemme de Thue ») les entiers égaux à une somme de deux carrés premiers entre eux. 4 Parmi ces formes r, choisissons-en une pour laquelle |B| est minimum. La forme quadratique est maintenant interprétée comme une norme. Cette référence est l'une des plus citées comme introduction à la théorie algébrique des nombres. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Remarque : on retrouve comme corollaire qu'un tel diviseur n'est pas de la forme 4k – 1. V En ce qui concerne le théorème des deux carrés, Euler montre d'abord qu'un nombre premier p = 4n – 1 ne divise pas une somme de deux carrés premiers entre eux, a2 + b2, en appliquant le petit théorème de Fermat. », Autrement dit, en termes plus modernes : si l'on écrit un nombre n sous la forme d2n' avec n' sans facteur carré et que n' est divisible par un nombre premier de la forme 4k – 1, alors n n'est pas une somme de deux carrés[20]. Un entier de la forme 4 k – 1 n'est jamais somme de deux carrés de rationnels. A Notons m ce diviseur, mn = aα2 + bαγ + cγ2, et β, δ entiers tels que αδ – βγ = 1. Euler accumule aussi toutes sortes d'expérimentations numériques. − tels que. IV. | En 1654, à la fin d'une lettre à Pascal[68], Fermat conjecture que pour tout nombre premier p : Les réciproques sont immédiates, par des raisonnements « à la Diophante ». Muni de cette norme, l'anneau est euclidien, c'est-à-dire que si b ≠ 0 et a sont deux entiers de Gauss : Tout anneau euclidien est aussi factoriel, ce qui signifie que le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique encore. Diophante, Cette série de cinq volumes s'adresse aux. p On montre de même que |C| ≥ |B|. Mais un jeune ami qui est en première S me demande s'il n'existe … Somme. Formule de la somme des n premiers carrés et sa démonstration. Par exemple, ils montrent qu’une somme impaire de deux carrés premiers entre eux est de la forme 12k + 5 ou 12k + 1. Richard Dedekind, le dernier en date des élèves de Gauss, propose deux preuves à la fois élégantes et concises à l'aide des entiers de Gauss. Les preuves ont été choisies pour leur simplicité. Ainsi 30 = 2×3×5 n’est pas somme de carrés car dans sa décomposition en facteurs premiers, 3 intervient avec un exposant 1. L'interlocuteur le plus important de Fermat sur la théorie des nombres, Frenicle, manifeste d'ailleurs qu'il a trouvé aussi cet énoncé : il demande par exemple à Fermat de trouver le plus petit nombre qui soit somme de deux carrés exactement un nombre de fois donné, et consacre le 5e exemple de son propre traité La Méthode des Exclusions au problème : « un nombre étant donné, déterminer combien de fois il est la somme de deux carrés ». Le cas général[pas clair] n'est finalement résolu qu'à la dernière année du siècle grâce à la touche finale de David Hilbert[46].