Journal of Sedimentary Petrology 34, 4, 830-847. Cette fonction de distribution comporte deux paramètres : la moyenne (µ) et la variance (σ2). Unwin Hyman, London, 207 p. Daubrée A. En abscisse elle porte les tailles en échelle ϕ = – log2 (mm) en 6 classes (63, 125, 250, 500, 1 000, 2 000 µm). 6 – How Gaussian could be a natural sedimentary rock? Les tailles sont transformées en échelle phi : ϕ = – log2 (diamètre) ; certains auteurs utilisent une transformation supplémentaire (ψ= –ϕ), qui permet de ne pas avoir de nombres négatifs pour les sédiments dont les tailles sont supérieures à 1 mm. 4) Malgré leur similitude visuelle apparente (fig. (1997) – Earth surface processes. Suite à cette découverte, j'ai cherché dans des vieux livres des séries de chiffres sur les prix du coton, les cours des actions ferroviaires au XIXe siècle. 42R.A. À l’opposé, R.A. Bagnold (1937) a montré l’intérêt de lois asymétriques ; ses arguments ont été repris et étendus aux lois hyperboliques, Log-hyperboliques, Log Laplace et Log Laplace asymétriques. Dans les années 1950, j'ai étudié à mon tour la distribution des revenus. Un dialogue du « Marchand de Venise », de Shakespeare, montre bien que le métier d'un armateur consiste à évaluer non pas la probabilité d'une tempête capable de détruire son navire, mais l'ampleur de la tempête maximale risquée afin de construire un navire assez solide pour y résister. Ni les uns ni les autres n’étaient particulièrement asymétriques. Données de H. Goett (2011).Data from H. Goett (2011). Bagnold (1937, 1988), le premier, a proposé de représenter une courbe granulométrique de sables en fonction du logarithme du diamètre des grains et du logarithme de la fréquence des grains. La représentation graphique et l’interprétation se font en portant α, β ou α + β, ou α / β ou α2 + β2 en fonction de µ ; la combinaison de ces paramètres donne des résultats très voisins. [1] Sa forme ressemble à celle d’un lemnisque : « Terme d’antiquité. 40, 23-46. Goett H. (2011) – Méthode de décryptage des archives sédimentaires : recherche de signature sédimentaire de paléo-tsunami à la Réunion et à Mayotte. 2 – Parameters of the hyperbolic distribution (χ value against logarithm of probability density, geometrical interpretation). L'existence de ces répartitions était non seulement ignorée mais niée par les statisticiens, qui ne juraient que par la loi de Gauss qui donne la fameuse courbe en cloche. 21Signification : 1) en log-log (fig. Il a donné le nom de saltation et de creep5 aux processus inférieurs ou supérieurs au mode. Les sédiments transportés sont mieux décrits par une distribution Log-hyperbolique et les dépôts d’étiage sont mieux décrits par des mélanges de distributions. Sørensen M. (2006) – On the size distribution of sand. Broché En 1694 Jaques Bernoulli publia dans Acta Eruditorum une courbe qu’il appela lemniscate, du grec lêmniskos et latin lemniscatus qui signifient ruban [1]. This video is unavailable. Pareto avait raison. 15 - L'intégrale eulérienne de seconde espèce considérée comme une fonction uniforme dans tout le plan. Cette loi est formée par deux équations qui décrivent deux lignes droites en forme de « tente » qui se rejoignent en un point d’abscisse µ. Dans ce cas, les pentes des deux segments de droites sont appelées (α, β). 1 – Equivalence diamètre-poids pour les lois gaussiennes et log-normales.Tab. Le mot de « mathématiques », dans un sens un peu archaïque, ne me dérange pas. Aidé en cela par la présentation Log-Normale, la courbe cumulée a été divisée en 2 à 4 segments droits par G.S. Journal of Sedimentary Research 11, 2, 64-72. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) précisent « χ and ξ express, respectively, the skewness and the kurtosis – in the qualitative sense of these terms – of the hyperbolic distribution ». – Formule d'Euler. Les courbes cumulées obtenues au Coulter (0,04 µm – 2000 µm) ne différencient pas l’origine des échantillons. 2 – Equivalence between parameters of Normal inverse Gaussian (NiG) distribution and the moments. Mon travail, c'est d'identifier des structures, pas de développer un modèle financier. – L'intégrale d'une fonction continue et uniforme dans une aire donnée, et prise en suivant le contour entier de cette aire, est nulle. Hervé Le Tellier. Une fois ce choix fixé, force est de reconnaître que les auteurs de manuels n’utilisent pas les indices granulométriques pour construire leur argumentation mais pour « présenter » leurs résultats (cf. Le « triangle de Sierpinski » est un triangle découpé en quatre triangles dont trois peuvent être à nouveau découpé à l'identique et ainsi jusqu'à l'infini. On parle tout le temps d'encourager l'innovation en organisant mieux les choses. » A la différence que l'abbé n'a rien fait pendant ce temps. Mais plus le temps s'écoulait, moins c'était possible... Surtout quand j'ai passé les soixante-cinq ans ! Un jour, dans le bureau du professeur Houthakker, à Harvard, j'ai vu sur un tableau noir une courbe qui avait la même forme que celles sur lesquelles je travaillais. Everything you need to know about life in a foreign country. Si α = β, alors la distribution est symétrique ; si α > β, cela signifie que la population fine est moins abondante du côté gauche de µ que du côté droit et inversement. Est-ce cet échec qui vous a ramené vers la finance ? pour le développement en série de J ; expressions de Cauchy et de Schaar, du reste de la série. In a seminal work, R.A. Bagnold (1937) noticed that the logarithm of the density function of distribution of the logarithm of the grain size in a dune deposits looks like more a hyperbola than a parabola. – Exemples de détermination d'intégrales relatives à un contour fermé. fig.1 de la Planche 1) où $a$ est un réel strictement positif ; $F$ et $F´$ sont les inverses des foyers de l’hyperbole et les tangentes au point double sont les inverses des asymptotes définies par $x^2-y^2=0$ de cette hyperbole (tangentes à l’infini, globalement invariantes). Notons en passant l’égalité $\int_{0}^{\overline{\omega}}sl(t)dt=\pi/2$ et les relations $sl^{2}{u}+cl^{2}{u}-sl{u}.cl{u}=1$ et $sl({u+v})=(sl{u}.cl{v}+sl{v}.cl{u})/(1-sl{u}.sl{v}.cl{u}.cl{v})$. This observation was extended by the Danish mathematician O.E. C'est faux. Sedimentology 55, 3, 667-687. Les indices semi-empiriques des auteurs « classiques » : n’étant que des versions simplifiées et manuellement calculables des moments de la loi Laplace-Gauss, ils n’ont qu’un intérêt, celui de permettre la comparaison entre des résultats anciens et actuels. La mise en relation des paramètres des lois (cf. – Exemple donné par Henri Poincaré d'une fonction définie dans tout le plan, à l'exception d'une certaine région. Gauss découvre le 30 mai 1799 la remarquable relation entre le « pi » circulaire et le « pi script » lemniscatique $\overline{\omega}=\pi/M(1,\sqrt{2})$ où $M(a,b)$ est la moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$. The British mathematician, N.R.J. (1984). It should not be summed up with the orange entries. – Indication succinte des propriétés des polynômes de Legendre. La moyenne de R.L. Lorsque l’ordonnée ξ = 1 et –1 < χ < 1, la distribution Hyperbolique tend vers une distribution de Laplace asymétrique ; dans ce cas, la courbe est réduite aux deux droites de pentes ϕ et ϒ qui se coupent en un point unique où μ et ν coïncident. | mot de passe oublié ? Trask (1930), D.L. Même si une variable temporelle n’est pas explicite dans les équations [1-5], la durée de la sédimentation transparaît dans la forme de la courbe granulométrique. L’intérêt d’une double représentation logarithmique (tailles, fréquences) est que la lecture des différentes lois y est très claire, les différentes lois donnant les résultats présentés dans le tableau 4. 19 - n° 4 | 2013, 379-392. 1A), la loi de Gauss s’applique mal aux sables de la dune (fig. – Théorème de Cauchy, sur le nombre des racines d'une équation contenues dans un contour fermé. (1987) ont montré que l’on pouvait analyser des distributions multimodales avec des mélanges de distributions Log Laplace asymétriques. Vol. Academic Press, London, 446 p. Sly P.G. Expression des polynômes de Legendre par des intégrales définies. (1988) – Sedimentary structures. Décrit par P. Bak et al. 55Nombreux sont les sédiments qui ont des sources d’origines variées et sont de ce fait des assemblages hétéroclites de matériaux. Trask P.D. 50La loi Normale-inverse Gaussienne a un domaine de validité plus restreint. Cette question ne se pose pas pour les NiG. Proceedings of the Royal Society of London A163, 250-264. Le climat des affaires s’améliore-t-il en France et à l’étranger ? EN. (2001) le disent à leur manière en citant un auteur ancien : « Wilson emphasizes that it is important to examine the actual data for the purpose of determining the proper statistical treatment », et « it is by no means safe to rush ahead and apply the second law of Laplace or the various extensions of it developed by the Scandinavian School on the one hand (Gram, Charlier) or the (British) Biometric School (Pearson, Yule) on the other ». L'approche fractale peut y contribuer assez finement. Geological Survey of Canada, Open File Report, 965. Barndorff-Nielsen O.E., Dalsgaard K., Halgreen C., Kuhlman H., Møller J.T., Schou G. (1982) – Variation in particle size distribution over a small dune. Faut-il avoir peur des maths financières ? La rupture de l’une des particules libérera la contrainte. Fig. Parker E.J., Bloemendal J. | s’inscrire Il fait alors le lien avec la relation 5 – Synoptique des lois utilisables en sédimentologie. (2001) – Sampling surface and subsurface particle-size distributions in wadable gravel-and cobble-bed streams for analyses in sediment transport, hydraulics, and streambed monitoring. En revanche, je reste passionné par la recherche... et, pour ça, on n'est jamais trop vieux ! L’apparition d’une contrainte susceptible de fracturer les grains est alors réduite. Dunod, Paris, 828 p. Ehrlich R. (1983) – Size analysis wears no clothes, or have moments come and gone? La chute de Merck le 30 septembre 2004 a influé sur les cours du lendemain. Translation for 'courbe de Gauss' in the free French-English dictionary and many other English translations. plus basse dans la partie finale (Fucino). Oct. 28, 2020. Comment définiriez-vous votre domaine de compétence ? Ces travaux séparent en fait le temps des ordinateurs du temps des calculs manuels ; quelques exemples peuvent le montrer. (2001) « in spite of his well-known precocity [K.F. (2001) – Fracture and fragmentation of ice: a fractal analysis of scale invariance. Physical Review A 38, 364-374. 2) Aux valeurs extrêmes (min. La fonction $sl$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée $sl'$ est définie par Folk et W.C. Ward (1957). (cf. 21 - Étude d'une intégrale à déterminations multiples. Cependant, ils ont délimité les zones d’accumulation et d’érosion dans le diagramme triangulaire χ et ζ : les formes d’érosion se trouvent vers les χ croissants, les formes de sédimentation vers les χ décroissants (fig. Le mécanisme pour la tracer (Cayley) est constitué d’un parallélogramme (croisé) articulé $ABCD$ de côtés $AC=BD=a,AB=CD=a\sqrt{2}$. 3). \[\overline{\omega}=2\int_{0}^{1}du/\sqrt{1-u^4}=2\int_{0}^{\pi/2}du/\sqrt{1+\sin^2u} = 2,6220575542921198104648395...\] 1 – A : Une dune (trait continu) et une courbe gaussienne (pointillé) sont très proches. Gauss] had probably not made his discovery before he was two years old ». Sly (1978) a utilisé l’asymétrie et l’aplatissement pour séparer les dépôts littoraux des grands lacs : les plages sableuses (faible énergie) se caractérisent par un aplatissement négatif et une asymétrie souvent positive alors que les plages à galets (forte énergie) ont un aplatissement et une asymétrie positive de faibles amplitudes. Bak P. (1996) – How nature works. Et nous prenons collectivement des risques de plus en plus grands que l'on n'ose pas, ou que l'on ne veut pas, quantifier. 16H. 5). I. Sediment changes. séparés), ce qui explique la différence de qualité. – Définition de Gauss. Ce processus a été observé en 3D dans des moraines de fond (LeB Hooke et Iverson, 1995) ou la fracturation sous-glaciaire sans dilatation produit des sédiments avec une dimension fractale ≈ 2,9 ; une lave torrentielle a les mêmes caractéristiques et a une dimension fractale de 2,8 alors que la fracturation pure aurait une dimension de 2,6 ± 0,11. – Intégrales doubles prises entre des limites constantes, leur évaluation approchée ; intégrales simples relatives à une courbe. – Définition du parallélogramme des périodes. 14 Ceci avait été montré par le professeur J. Tricart ainsi que par M. Mainguet-Michel (1966) pour le rio Motatán (Vénézuela). 19 - n° 4 | 2013, mis en ligne le 15 décembre 2015, consulté le 17 novembre 2020. éditions Technip, Paris, 493 p. Scheidegger A.E. 3) Les deux segments de droites sont discontinus, ont des pentes différentes de signe opposé et mesurent donc des processus différents. – L'intégrale de Cauchy conduit à la notion des coupures ; elle donne l'expression analytique d'une fonction qui coïncide dans des aires déterminées avec des fonctions données arbitrairement, et qui est nulle en dehors de ces aires. - Mathém. Folk and W.C. Ward (1957), A. Cailleux (1961), and G.M. Blog Press Information. 6 Cette appellation sera précisée plus tard. – Application à la rectification des courbes unicursales. – Décomposition en éléments simples et propriétés générales. Translations into more languages in the bab.la German-English dictionary. 1Les probabilités et les distributions statistiques n’ont pas été inventées pour la sédimentologie ; à l’opposé, c’est aux géomorphologues d’adapter à leurs problèmes et d’améliorer les lois utilisées dans d’autres disciplines. 33Une variante est la loi log Laplace asymétrique8 (skew Log Laplace) qui a trois paramètres (α, β, μ) et qui a été proposée en sédimentologie par N.R.J. Jean-Luc Mercier, « Indices granulométriques et lois de distributions », Géomorphologie : relief, processus, environnement [En ligne], vol. Mémoires et documents, Editions du CNRS, 1, 101 p. Masselink G., Buscombe D., Austin M., O’Hare T., Russell P. (2008) – Sediment trend models fail to reproduce small-scale sediment transport patterns on an intertidal beach. Sedimentary Geology 181, 195-206. Weiss J. Ensuite, elle compare visuellement les courbes obtenues et les organise en une dizaine de catégories (Besler, 2008). Friedman (1961) ont proposé une série d’indices. Une ligne droite est une fractale : vue de près ou de loin, c'est toujours une ligne droite ! La « queue épaisse » n'est pas le produit d'une erreur ou d'un raffinement excessif. Elle vous donne les clés pour décrypter l’actualité et anticiper les conséquences de la crise actuelle sur les entreprises et les marchés. Extraits de quelques lettres à Holmboe, Page 261, [4] Évelyne BARBIN et René GUITART. En sédimentologie, l’aplatissement ne mesure pas seulement la forme de la courbe : l’existence de ϒ 2 < 3 indique la présence de queues de distribution, i.e. De la même manière J. Schlee et al. – Théorèmes de Fagnano, de Mgr Graves et de Chasles sur les arcs d'ellipse à différence rectifiable. un cas particulier d’ovale de Cassini (définition bipolaire) ; un cas particulier de courbe de Booth (courbe définie par l’équation $(x^2+y^2)^2=a^2x^2+\epsilon b^2y^2$ avec $\epsilon=1$ ou $\epsilon=-1$) ; un cas particulier de spirale sinusoïdale (équation polaire) ; la podaire par rapport à $O$ de l’hyperbole équilatère dont elle est l’inverse ; en tant que podaire, l’enveloppe des cercles de diamètre d’extrémités son centre et un point de cette hyperbole ; l’ensemble des milieux des segments de longueur $FF'$ dont les extrémités décrivent les cercles de rayon $a$ et de centres $F$ et $F'$. – Recherche de l'expression des fonctions doublement périodiques par le quotient de deux fonctions holomorphes. Tout ceci n'a que peu de choses à voir avec l'économie... Détrompez-vous ! 3). (1979) – Multivariate analysis of sedimentary environments using grain size frequency distributions. Il est donc parfois judicieux d’approcher le mécanisme de dépôt par le temps de la sédimentation (fig. Fig. L’observation d’un tas de sable impose à l’évidence qu’un échantillon contienne un nombre (très grand mais inconnu ≈ infini) de grains de sable, il est donc immédiat de vouloir appliquer la théorie des grands nombres à cet objet d’étude ; de ceci découle l’utilisation de la loi Laplace-Gauss dite Normale et de ses moments. – Démonstration du théorème de Cauchy sur l'intégrale d'une fonction uniforme prise le long d'un contour fermé. These methods are far from the statistical tools used in sedimentology and constructed on the moments of the Laplace-Gauss-Normal distribution. P.G. Constable, London, 257 p. MacArthur D.S. 46La contrainte granulaire la plus forte est réalisée lorsque deux particules de même taille sont jointives. fig.2 de la Planche 1), et pour le cas hyperbolique, le double de l’aire de la partie délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et la droite $OM$ où $M=(\cosh(t),\sinh(t))$ (secteur hyperbolique $OAM$ ?) 34Dans cette loi, il y a très clairement deux équations, l’une inférieure au mode, l’autre supérieure ; cela signifie qu’il y a au moins deux processus en cause et aussi deux populations. Method of preparing polyamides, in which, in a first step, the anionic polymerization of at least one lactam is carried out and then, in a second step, a heat treatment is carried out on the polymer. Voir la notice dans le catalogue OpenEdition, Plan du site – Contacts – Crédits – Flux de syndication, Nous adhérons à OpenEdition Journals – Édité avec Lodel – Accès réservé, You will be redirected to OpenEdition Search, Systèmes géomorphologiques : renouveler les thématiques, les outils et les méthodes, Indices granulométriques et lois de distributions, Statistical distributions and grain-size texture, A digital resources portal for the humanities and social sciences, Géomorphologie : relief, processus, environnement, https://doi.org/10.4000/geomorphologie.10357, Les indices semi-empiriques obtenus graphiquement, L’indice d’hétérométrie Hé de André Cailleux, Indices granulométriques, moments et milieux de sédimentation, Les lois hyperboliques et Log-hyperboliques, NiG, des distributions hyperboliques aux comportements physiques, Un modèle physique associé à la distribution NiG, Intérêt, signification, et choix des lois logarithmiques, Dynamique sédimentaire et signification des distributions, Sédiments et distributions statistiques : sommes ou mélanges, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-1.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-2.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-3.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-4.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-5.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-6.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-7.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-8.png, http://journals.openedition.org/geomorphologie/docannexe/image/10357/img-9.png, Catalogue of 547 journals. Chmel A., Smirnov V.N., Panov L.V. Les courbes cumulées obtenues au Coulter (0,04 µm – 2000 µm) ne différencient pas l’origine des échantillons. Barndorff-Nielsen (1977) puis O.E. – Applications. Là encore, c'est faux. ISBN : 978-2-87647-343-0. Fig. Il y a beaucoup plus de hauts revenus que ne le décrirait une courbe gaussienne. Sedimentology 29, 53-65. Tous les secrets de votre cerveau Lieury Alain. Avec le travail sur ces données, j'ai bâti un modèle d'évaluation des risques. Sedimentology 19, 21-35. Ils ont donc développé des coefficients qui ont le même rôle que les moments. Ceci a ouvert la voie au développement de la famille des lois hyperboliques, Log hyperboliques, de Laplace et Log Laplace asymétrique. 48Les distributions Gauss-Normale ou Log-Normale ont un mode mais cette forme s’oppose à la croissance exponentielle continue du nombre de grains avec la décroissance des tailles. 9 - Séries de Taylor et de MacLaurin déduites de l'expression d'une fonction f (x) par la formule de Cauchy. Pour un sédiment éolien, les sables grossiers déposés en premier ont perdu (par déflation) les particules fines contemporaines de leurs dépôts. Puis N.R.J. 26La distribution Normale-Inverse Gaussienne (NiG) de O.E. J'ai été invité à faire des conférences un peu partout. Une loi bimodale Log-Laplace asymétrique à six paramètres oppose la plage (ligne) aux quatre autres (histogrammes) ; Y = valeur des paramètres, l’abscisse est dans le sens probable du temps. Les indices granulométriques calculés sur des échantillons de sédiments meubles (galets-sables-limons-argiles) sont des outils qui doivent aider à confirmer-infirmer ou préciser des hypothèses qui sont nées sur le terrain. Lors de l’application de la loi de Laplace-Gauss en sédimentologie, le concept de tri granulométrique est associé à la vitesse et à la compétence d’un fluide : sur l’histogramme, il s’agit des classes de taille entourant le mode, celles-ci ne décrivent qu’un seul et même processus sédimentaire. Et, au début des années 1970, Fischer Black et Myron Scholes, un mathématicien et un économiste, trouvèrent un moyen d'estimer les risques financiers et la valeur des produits dérivés, comme les options sur action. Non, car la lune de miel a peu duré. J'aurais pu rentrer en France à plusieurs occasions. Chaque jour, la rédaction des Echos vous apporte une information fiable en temps réel. – Comment Riemann transforme ces intégrales à déterminations multiples, en fonctions uniformes affectées de coupures. 6 – Un sédiment naturel peut-il être gaussien ?Tab. A. Cailleux a donc proposé un indice Hé (hétérométrie) qui est mesuré à l’aide d’une réglette que l’on déplace manuellement sur la courbe granulométrique cumulée jusqu’à l’obtention (à l’œil) de la plus grande pente (Cailleux, 1961 ; Cailleux et Tricart, 1963). Rampal P. (2008) – Étude de la dérive et de la déformation de la banquise Arctique par l’analyse de trajectoires lagrangiennes. 1 – A : Une dune (trait continu) et une courbe gaussienne (pointillé) sont très proches. – Leur expression dans tout le plan par le théorème de Mittag-Leffler. 13Sur ces bases, P.D. 10On peut passer des paramètres des distributions diamètres à ceux des poids par les relations suivantes : diamètre des particules = LnG (µ,σ 2) ; poids des particules = LnG (3µ + Ln(c), 9σ2). Springer-Verlag, Berlin, 65-89. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988). Language: french. La turbulence généralisée entraîne les grains de taille plus fine, qui sédimentent « simultanément » un lit de matériaux de tailles µ < x < xmax et de pente β (cf. Théoriquement, un échantillon est Gaussien (Normal) si, en termes d’échelle ϕ (distribution log-normale), on a : d10 = σϒ-1,3d50 ; d16 = σϒ–1,0 d50 ; d84 = σgd50 ; d90 = σg1,3 d50. Pour ξ = 1 et χ = –1.0 ainsi que pour ξ = 1 et χ = 1.0, on obtient une distribution exponentielle. La distribution NiG a la même caractéristique, la somme de deux distributions NiG est une NiG, mais ce n’est pas le cas de la somme des distributions hyperboliques. 47La rupture aléatoire d’une distribution de particules originelles donne une distribution Log-Normale (Kolmogorov, 1941), qui relie la masse des grains au log (taille). 4, les valeurs des paramètres calculés (α1, β1, α1, α2, β2, α2) font apparaître nettement que l’échantillon inconnu Inc a des valeurs proches de celles des dépôts de paléo tsunamis A, B1, B2 alors que la plage actuelle est très différente. 52Pour un échantillon dont les tailles croissent de xmin à xmax, la taille modale µ indique le renversement des processus sédimentaires. Fieller et al. Aujourd'hui, les choses ont bien changé. Pour le cas circulaire, $t$ représente deux fois l’aire du secteur circulaire $OAM$ où $A=(1,0)$ et $M=(\cos(t),\sin(t))$ (cf. On appelle b1 la moyenne de Bi qui est < 0 (car 0 < Di < 1) et b2 la variance. Cambridge University Press, New York, 221 p. Vincent P. (1986) – Differentiation of modern beach and coastal dune sand – A logistic regression approach using the parameters of the hyperbolic function. (1982) ont travaillé sur la déflation éolienne dans les dunes du Jutland, en reprenant l’observation de Bagnold dans laquelle la distribution des grains n’est pas log-normale mais semble plutôt avoir des extrémités exponentielles. 7C’est la loi d’une variable X > 0 telle que le logarithme népérien suive une loi de Laplace - Gauss : Ln X ~ LG(µ,σ). De plus, les courbes granulométriques ne semblaient pas toujours ni uni-modales, ni symétriques : ces arguments ont conduit divers auteurs (Trask, 1930 ; Inman, 1952 ; Folk et Ward, 1957 ; Cailleux, 1961 ; Friedman, 1961) à proposer des indices semi-empiriques qui devaient à la fois remplacer les moments statistiques difficilement calculables et mieux rendre compte de courbes granulométriques complexes (asymétriques, multimodales...). Si la somme de poudres peut se concevoir en métallurgie, en chimie ou en synthèse de médicament, en sédimentologie, il n’y a aucune raison pour qu’un échantillon soit la somme de deux ou plusieurs distributions gaussiennes parfaites. American Society of Civil Engineers, New York 359 p. Bagnold R.A., Barndorff-Nielsen O.E. (Comparer avec le théorème de Gauss-Wantzel pour le cercle). – Comment les valeurs multiples amènent en général une complète indétermination. La fonction de distribution est représentée sur la figure 2 et s’écrit de la manière suivante : 23Dans laquelle les paramètres et les variables complémentaires ont la signification suivante : K1 = fonction de Bessel de troisième espèce et du premier ordre ; μ = premier paramètre de position, intersection des deux droites « pic géométrique, taille typique »6 ≈ « mode » ; δ = facteur d’échelle n’a pas d’interprétation particulière mais ζ = δ√ϕγ ; ϕ = la pente de l’asymptote de la partie gauche de la courbe ; γ = la pente de l’asymptote de la partie droite de la courbe : γ = position du mode = µ + δ (ϕ– γ) / (2√ϕ γ), position du « pic de la courbe » ; π = ½ (ϕ – γ)/√(ϕ – ϒ) = asymétrie de la fonction (π = 0 pour une fonction symétrique) ; τ = inverse du rayon de courbure de la fonction (τ élevé pour un petit rayon) ; l’aplatissement (kurtosis) et l’asymétrie (skewness) sont difficiles à calculer, on peut approcher l’asymétrie par χ = ((ϕ–γ) / (ϕ + γ)) ζ ; ζ = écart entre l’ordonnée de la courbe hyperbolique et l’intersection des asymptotes pour x = μ, c’est une sorte d’aplatissement (kurtosis) : ζ = (1+δ√(ϕγ))–1/2.