(∀ x∈] 0,+∞[) ; \(g ‘(x)=2x(ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{2(1+x)})\), la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(IR_{+}^{*}\), b. Montrer que l’équation g(x)=1 admet sur \(IR _{+}^{*}\), une solution unique notée α puis vérifier que α ∈]1;2[, (On prendra \(ln2=0.7\) et \(ln(\frac{3}{2})=1.5\), En déduire que les seules solutions de l’équation \(f(x)=x\) sont 0 et \(α\), 5.a. Les champs obligatoires sont indiqués avec *, vous êtes au collège ou au lycée, tronc commun, Seconde, Deuxième année bac ou au terminal, Sciences maths, Sciences physiques, Economique ou STMG ? 3. Exercice 4 qui concerne l’analyse (obligatoire) 13 points. \(\quad E=\left\{M(x, y, z)=\left(\begin{array}{ccc}x & -y & -y \\ 0 & z & 0 \\ y & x-z & x\end{array}\right) /(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}\right\}\). (On note \(f^{-1}\) sa bijection réciproque). On note \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les deux autres solutions de l’équation \((E)\) autre que \(m\), 2.a Vérifier que: \(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}=\frac{1}{m}\), b Dans le cas où \(m=1+e^{i \frac{π}{3}}\), écrire sous la forme algébrique \(z_{1}\) et \(z_{2}\), Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\). On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle I=[0.1] par: f(x)=xln (2-x) et soit \((C)\) sa courbe représentative. Exercice 1 qui concerne l’arithmétique (au choix). Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. b. Montrer que la multiplication n’est pas commutative dans \(E\). \((F’ désigne F-{O\})\). vous cherchez à vous baser en mathématiques? \(∀(x, y, z)∈IR^{3},\; ∀(x’,y’,z’)∈IR^{3}\); b) Montrer que \((E,+,×)\) est un anneau commutatif. ∀n≥2;\(f_{n}(α_{n})=\frac{1}{n}×\frac{α_{n}^{n+1}}{2-α_{n}}\), en déduire que: \(\lim _{n⟶+∞} f_{n}(α_{n})=0\). 4. On note par \(M_{2}( IR )\) I’ensemble des matrices carrées d’ordre deux. à améliorer votre niveau? Les champs obligatoires sont indiqués avec *, vous êtes au collège ou au lycée, tronc commun, Seconde, Deuxième année bac ou au terminal, Sciences maths, Sciences physiques, Economique ou STMG ? et que\((M_{3}(IR, +,•)\) est un anneau non commutatif 1. Montrer que: les points O, A et B ne sont pas alignes. 2. 4math.net 2-a) Etudier les variations de \(f\), puis donner son tableau de variations. 1. En utilisant la méthode d’intégration par parties, \(F(x)=\frac{\ln 2}{4}-\frac{x^{2}}{4}ln(1+\frac{1}{x})+\frac{1}{4}\int_{x}^{1}\frac{t^{3}}{t+1}dt\), \(\int_{x}^{1} \frac{t^{3}}{t+1} dt\) pour tout } x ∈]0,+∞[, \(\frac{t^{3}}{1+t}=t^{2}-t+1-\frac{1}{1+t})\), \(F(x)=\frac{5}{24}-\frac{x^{3}}{12}+\frac{x^{2}}{8}\frac{x}{4}+\frac{1}{4} \ln(1+x)-\frac{x^{4}}{4}ln (1+\frac{1}{x})\), \(\lim _{x➝0^{+}} F(x)\), en déduire la valeur de \(\int_{0}^{1} f(t) d t\). Montrer que ∀ x∈[1;+∞[: \(F(x)≤(1-x)ln2\). On appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction: t ⟶ ln(t) sur l’intervalle I=[x;x+1], Montrer que: (P):(∀ x∈] 0;+∞[) ; \(\frac{1}{x+1}